Номер 16.31, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.31, страница 100.

О16.31. Прологарифмируйте по основанию 5:

а) $125a^4 : b^4$;

б) $\frac{625(\sqrt{ab})^3}{\frac{1}{c^2}}$;

в) $\frac{25\sqrt{5a^6b^7}}{c^3}$;

г) $\left(\frac{a^6}{\sqrt[5]{b^2}}\right)^{-3}$.

а) Прологарифмируем выражение $125a^4 : b^4$ по основанию 5. Сначала представим выражение в виде дроби и применим свойства логарифмов: логарифм частного и логарифм произведения.
$\log_5 \left(\frac{125a^4}{b^4}\right) = \log_5(125a^4) - \log_5(b^4)$
$= \log_5(125) + \log_5(a^4) - \log_5(b^4)$
Далее используем свойство логарифма степени $\log_b(x^n) = n \log_b(x)$. Учтем, что $125 = 5^3$, поэтому $\log_5(125) = 3$.
$= 3 + 4\log_5(a) - 4\log_5(b)$
Ответ: $3 + 4\log_5(a) - 4\log_5(b)$

б) Прологарифмируем выражение $\frac{625(\sqrt{ab})^3}{\frac{1}{c^2}}$ по основанию 5. Сначала упростим его.
$\frac{625(\sqrt{ab})^3}{\frac{1}{c^2}} = 625 \cdot (\sqrt{ab})^3 \cdot c^2 = 625 \cdot (ab)^{\frac{3}{2}} \cdot c^2 = 625 a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{3}{2}} c^2$
Теперь логарифмируем полученное выражение, используя свойство логарифма произведения.
$\log_5(625 a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{3}{2}} c^2) = \log_5(625) + \log_5(a^{\frac{3}{2}}) + \log_5(b^{\frac{3}{2}}) + \log_5(c^2)$
Так как $625 = 5^4$, то $\log_5(625) = 4$. Применяем свойство логарифма степени.
$= 4 + \frac{3}{2}\log_5(a) + \frac{3}{2}\log_5(b) + 2\log_5(c)$
Ответ: $4 + \frac{3}{2}\log_5(a) + \frac{3}{2}\log_5(b) + 2\log_5(c)$

в) Прологарифмируем выражение $\frac{25\sqrt{5a^6b^7}}{c^3}$ по основанию 5. Преобразуем его, используя свойства степеней.
$\frac{25\sqrt{5a^6b^7}}{c^3} = \frac{5^2 \cdot (5a^6b^7)^{\frac{1}{2}}}{c^3} = \frac{5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} \cdot a^{6 \cdot \frac{1}{2}} \cdot b^{7 \cdot \frac{1}{2}}}{c^3} = \frac{5^{2+\frac{1}{2}} a^3 b^{\frac{7}{2}}}{c^3} = \frac{5^{\frac{5}{2}} a^3 b^{\frac{7}{2}}}{c^3}$
Логарифмируем по основанию 5.
$\log_5\left(\frac{5^{\frac{5}{2}} a^3 b^{\frac{7}{2}}}{c^3}\right) = \log_5(5^{\frac{5}{2}} a^3 b^{\frac{7}{2}}) - \log_5(c^3)$
$= \log_5(5^{\frac{5}{2}}) + \log_5(a^3) + \log_5(b^{\frac{7}{2}}) - \log_5(c^3)$
Применяем свойство логарифма степени и учитываем, что $\log_5(5^x) = x$.
$= \frac{5}{2} + 3\log_5(a) + \frac{7}{2}\log_5(b) - 3\log_5(c)$
Ответ: $\frac{5}{2} + 3\log_5(a) + \frac{7}{2}\log_5(b) - 3\log_5(c)$

г) Прологарифмируем выражение $\left(\frac{a^6}{\sqrt[5]{b^2}}\right)^{-3}$ по основанию 5. Сначала упростим его.
$\left(\frac{a^6}{\sqrt[5]{b^2}}\right)^{-3} = \left(\frac{a^6}{b^{\frac{2}{5}}}\right)^{-3} = \left(\frac{b^{\frac{2}{5}}}{a^6}\right)^{3} = \frac{(b^{\frac{2}{5}})^3}{(a^6)^3} = \frac{b^{\frac{6}{5}}}{a^{18}}$
Теперь найдем логарифм по основанию 5.
$\log_5\left(\frac{b^{\frac{6}{5}}}{a^{18}}\right) = \log_5(b^{\frac{6}{5}}) - \log_5(a^{18})$
Используя свойство логарифма степени, получаем:
$= \frac{6}{5}\log_5(b) - 18\log_5(a)$
Ответ: $\frac{6}{5}\log_5(b) - 18\log_5(a)$