Номер 16.38, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.38, страница 101.

16.38. a) $y = \log_{2} 8x;$

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} 4x;$

В) $y = \log_{3} \frac{x}{27};$

Г) $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{9}.$

а) Чтобы упростить функцию $y = \log_2 8x$, воспользуемся свойством логарифма произведения: $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$. Область определения исходной функции: $8x > 0$, то есть $x > 0$.
Применяем свойство:
$y = \log_2 8x = \log_2 8 + \log_2 x$
Вычислим значение $\log_2 8$. Так как $2^3 = 8$, то $\log_2 8 = 3$.
Подставляем полученное значение в выражение:
$y = 3 + \log_2 x$
Область определения полученной функции $y = 3 + \log_2 x$ также $x > 0$, что совпадает с областью определения исходной функции. График этой функции получается из графика функции $y = \log_2 x$ сдвигом вверх на 3 единицы.
Ответ: $y = \log_2 x + 3$.

б) Упростим функцию $y = \log_{\frac{1}{2}} 4x$. Используем свойство логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$. Область определения: $4x > 0$, то есть $x > 0$.
$y = \log_{\frac{1}{2}} 4x = \log_{\frac{1}{2}} 4 + \log_{\frac{1}{2}} x$
Вычислим значение $\log_{\frac{1}{2}} 4$. Пусть $\log_{\frac{1}{2}} 4 = k$, тогда по определению логарифма $(\frac{1}{2})^k = 4$.
Представим обе части уравнения с основанием 2: $(2^{-1})^k = 2^2$, откуда $2^{-k} = 2^2$.
Следовательно, $-k = 2$, то есть $k = -2$. Значит, $\log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$.
Подставляем в выражение:
$y = -2 + \log_{\frac{1}{2}} x$
График этой функции получается из графика $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ сдвигом вниз на 2 единицы.
Ответ: $y = \log_{\frac{1}{2}} x - 2$.

в) Для функции $y = \log_3 \frac{x}{27}$ применим свойство логарифма частного: $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$. Область определения: $\frac{x}{27} > 0$, то есть $x > 0$.
$y = \log_3 \frac{x}{27} = \log_3 x - \log_3 27$
Вычислим $\log_3 27$. Так как $3^3 = 27$, то $\log_3 27 = 3$.
Получаем упрощенный вид функции:
$y = \log_3 x - 3$
График этой функции получается из графика $y = \log_3 x$ сдвигом вниз на 3 единицы.
Ответ: $y = \log_3 x - 3$.

г) Упростим функцию $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{9}$, используя свойство логарифма частного $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$. Область определения: $\frac{x}{9} > 0$, то есть $x > 0$.
$y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{9} = \log_{\frac{1}{3}} x - \log_{\frac{1}{3}} 9$
Вычислим значение $\log_{\frac{1}{3}} 9$. Пусть $\log_{\frac{1}{3}} 9 = k$, тогда $(\frac{1}{3})^k = 9$.
Представим обе части с основанием 3: $(3^{-1})^k = 3^2$, откуда $3^{-k} = 3^2$.
Следовательно, $-k = 2$, или $k = -2$. Значит, $\log_{\frac{1}{3}} 9 = -2$.
Подставляем в выражение:
$y = \log_{\frac{1}{3}} x - (-2) = \log_{\frac{1}{3}} x + 2$
График этой функции получается из графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ сдвигом вверх на 2 единицы.
Ответ: $y = \log_{\frac{1}{3}} x + 2$.