Номер 16.39, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.39, страница 101.

16.39. a) $y = \log_{2}x^3$;

б) $y = \log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{x}$;

в) $y = \log_{3}\frac{1}{x}$;

г) $y = \log_{\frac{1}{2}}x^3$.

а) $y = \log_2{x^3}$

Для нахождения производной данной функции, сначала упростим выражение, используя свойство логарифма $\log_a{b^c} = c \cdot \log_a{b}$. Это свойство применимо, так как область определения функции ($x^3 > 0$, т.е. $x > 0$) совпадает с областью определения упрощенной функции.

$y = 3 \cdot \log_2{x}$

Теперь найдем производную. Используем формулу производной логарифмической функции $(\log_a{x})' = \frac{1}{x \ln{a}}$ и правило дифференцирования произведения константы на функцию $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$:

$y' = (3 \cdot \log_2{x})' = 3 \cdot (\log_2{x})' = 3 \cdot \frac{1}{x \ln{2}} = \frac{3}{x \ln{2}}$

Ответ: $y' = \frac{3}{x \ln{2}}$

б) $y = \log_{\frac{1}{3}}{\frac{1}{x}}$

Упростим функцию, используя свойства логарифмов: $\log_a{\frac{1}{b}} = \log_a{b^{-1}} = -\log_a{b}$ и $\log_{\frac{1}{a}}{b} = \log_{a^{-1}}{b} = -\log_a{b}$. Область определения функции: $\frac{1}{x} > 0$, что означает $x > 0$.

Применим свойства последовательно:

$y = \log_{\frac{1}{3}}{x^{-1}} = - \log_{\frac{1}{3}}{x} = - \log_{3^{-1}}{x} = -(-\log_3{x}) = \log_3{x}$

Таким образом, исходная функция тождественно равна $y = \log_3{x}$ на ее области определения.

Найдем производную упрощенной функции, используя формулу $(\log_a{x})' = \frac{1}{x \ln{a}}$:

$y' = (\log_3{x})' = \frac{1}{x \ln{3}}$

Ответ: $y' = \frac{1}{x \ln{3}}$

в) $y = \log_3{\frac{1}{x}}$

Упростим выражение, используя свойство логарифма $\log_a{\frac{1}{b}} = \log_a{b^{-1}} = -\log_a{b}$. Область определения функции: $\frac{1}{x} > 0$, что означает $x > 0$.

$y = \log_3{x^{-1}} = - \log_3{x}$

Теперь найдем производную функции $y = -\log_3{x}$:

$y' = (-\log_3{x})' = -1 \cdot (\log_3{x})' = - \frac{1}{x \ln{3}}$

Ответ: $y' = - \frac{1}{x \ln{3}}$

г) $y = \log_{\frac{1}{2}}{x^3}$

Для нахождения производной, сначала упростим функцию, используя свойства логарифмов $\log_a{b^c} = c \cdot \log_a{b}$ и $\log_{\frac{1}{a}}{b} = -\log_a{b}$. Область определения функции: $x^3 > 0$, то есть $x > 0$.

Применим свойства:

$y = 3 \cdot \log_{\frac{1}{2}}{x} = 3 \cdot \log_{2^{-1}}{x} = 3 \cdot (-\log_2{x}) = -3 \log_2{x}$

Теперь найдем производную функции $y = -3 \log_2{x}$:

$y' = (-3 \log_2{x})' = -3 \cdot (\log_2{x})' = -3 \cdot \frac{1}{x \ln{2}} = -\frac{3}{x \ln{2}}$

Ответ: $y' = -\frac{3}{x \ln{2}}$