Номер 16.46, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.46, страница 102.

16.46. a) $3 \log_5 4 \cdot \log_6 5 \cdot \log_7 6 \cdot \log_8 7;$

б) $\log_2 10 \cdot \log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \ldots \cdot \log_{1000} 999.$

а) Для решения данного примера воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$. В качестве нового основания $c$ можно выбрать любое удобное число, например, $e$ (натуральный логарифм).

Запишем исходное выражение $3 \log_5 4 \cdot \log_6 5 \cdot \log_7 6 \cdot \log_8 7$, применив эту формулу к каждому логарифму:

$3 \cdot \frac{\ln 4}{\ln 5} \cdot \frac{\ln 5}{\ln 6} \cdot \frac{\ln 6}{\ln 7} \cdot \frac{\ln 7}{\ln 8}$

Видим, что многие члены в числителях и знаменателях сокращаются (так называемое «телескопическое сокращение»):

$3 \cdot \frac{\ln 4}{\cancel{\ln 5}} \cdot \frac{\cancel{\ln 5}}{\cancel{\ln 6}} \cdot \frac{\cancel{\ln 6}}{\cancel{\ln 7}} \cdot \frac{\cancel{\ln 7}}{\ln 8} = 3 \cdot \frac{\ln 4}{\ln 8}$

Теперь воспользуемся формулой перехода к новому основанию в обратном порядке $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$:

$3 \cdot \frac{\ln 4}{\ln 8} = 3 \cdot \log_8 4$

Осталось вычислить значение $\log_8 4$. Для этого представим основания 8 и 4 как степени числа 2: $8 = 2^3$, $4 = 2^2$.

$\log_8 4 = \log_{2^3} 2^2$

Используя свойство логарифма степени $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$, получаем:

$\frac{2}{3} \log_2 2 = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$3 \cdot \frac{2}{3} = 2$

Ответ: 2

б) Рассмотрим произведение $\log_2 10 \cdot \log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \dots \cdot \log_{1000} 999$.

Для удобства перегруппируем множители, чтобы увидеть закономерность $\log_{n+1} n$:

$\log_2 10 \cdot (\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \dots \cdot \log_{1000} 999)$

Применим к произведению в скобках формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}$:

$\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \dots \cdot \log_{1000} 999 = \frac{\ln 2}{\ln 3} \cdot \frac{\ln 3}{\ln 4} \cdot \dots \cdot \frac{\ln 999}{\ln 1000}$

В этом произведении все промежуточные члены сокращаются:

$\frac{\ln 2}{\cancel{\ln 3}} \cdot \frac{\cancel{\ln 3}}{\cancel{\ln 4}} \cdot \dots \cdot \frac{\cancel{\ln 999}}{\ln 1000} = \frac{\ln 2}{\ln 1000}$

По формуле перехода к новому основанию в обратном порядке это равно $\log_{1000} 2$.

Теперь вернемся к исходному выражению, подставив полученный результат:

$\log_2 10 \cdot \log_{1000} 2$

Используем свойство $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$ для второго множителя:

$\log_2 10 \cdot \frac{1}{\log_2 1000} = \frac{\log_2 10}{\log_2 1000}$

Снова применяем формулу перехода к новому основанию $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$:

$\frac{\log_2 10}{\log_2 1000} = \log_{1000} 10$

Чтобы вычислить $\log_{1000} 10$, заметим, что $1000 = 10^3$.

$\log_{1000} 10 = \log_{10^3} 10^1 = \frac{1}{3} \log_{10} 10 = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$