Номер 16.47, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.47, страница 102.

16.47. a) $\frac{\log_2 56}{\log_{28} 2} - \frac{\log_2 7}{\log_{224} 2}$;

б) $\frac{\log_3 135}{\log_{45} 3} - \frac{\log_3 5}{\log_{1215} 3}$.

а)

Преобразуем выражение, используя формулу перехода к новому основанию логарифма $ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} $. Применив ее к знаменателям дробей, мы "переворачиваем" их, меняя основание и аргумент логарифма местами:

$ \frac{\log_2 56}{\log_{28} 2} - \frac{\log_2 7}{\log_{224} 2} = \log_2 56 \cdot \log_2 28 - \log_2 7 \cdot \log_2 224 $

Теперь разложим числа в аргументах логарифмов на множители, чтобы упростить выражение. Заметим, что все они связаны с числами 7 и степенями 2:

$ 56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7 $

$ 28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7 $

$ 224 = 32 \cdot 7 = 2^5 \cdot 7 $

Подставим эти разложения в наше выражение и применим свойство логарифма произведения $ \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c $ и свойство логарифма степени $ \log_a a^n = n $:

$ \log_2(2^3 \cdot 7) \cdot \log_2(2^2 \cdot 7) - \log_2 7 \cdot \log_2(2^5 \cdot 7) = $
$ = (\log_2 2^3 + \log_2 7) \cdot (\log_2 2^2 + \log_2 7) - \log_2 7 \cdot (\log_2 2^5 + \log_2 7) = $
$ = (3 + \log_2 7) \cdot (2 + \log_2 7) - \log_2 7 \cdot (5 + \log_2 7) $

Чтобы упростить дальнейшие вычисления, введем замену переменной. Пусть $ x = \log_2 7 $. Тогда выражение принимает вид:

$ (3 + x)(2 + x) - x(5 + x) $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ (6 + 3x + 2x + x^2) - (5x + x^2) = 6 + 5x + x^2 - 5x - x^2 = 6 $

Ответ: 6

б)

Действуем по аналогии с предыдущим пунктом. Сначала используем формулу $ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} $ для преобразования знаменателей:

$ \frac{\log_3 135}{\log_{45} 3} - \frac{\log_3 5}{\log_{1215} 3} = \log_3 135 \cdot \log_3 45 - \log_3 5 \cdot \log_3 1215 $

Разложим аргументы логарифмов на множители, выделяя степени основания 3 и число 5:

$ 135 = 27 \cdot 5 = 3^3 \cdot 5 $

$ 45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5 $

$ 1215 = 243 \cdot 5 = 3^5 \cdot 5 $

Подставим разложения в выражение и используем свойства логарифмов $ \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c $ и $ \log_a a^n = n $:

$ \log_3(3^3 \cdot 5) \cdot \log_3(3^2 \cdot 5) - \log_3 5 \cdot \log_3(3^5 \cdot 5) = $
$ = (\log_3 3^3 + \log_3 5) \cdot (\log_3 3^2 + \log_3 5) - \log_3 5 \cdot (\log_3 3^5 + \log_3 5) = $
$ = (3 + \log_3 5) \cdot (2 + \log_3 5) - \log_3 5 \cdot (5 + \log_3 5) $

Введем замену: пусть $ y = \log_3 5 $. Выражение примет вид:

$ (3 + y)(2 + y) - y(5 + y) $

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$ (6 + 3y + 2y + y^2) - (5y + y^2) = 6 + 5y + y^2 - 5y - y^2 = 6 $

Ответ: 6