Номер 16.54, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.54, страница 103.

16.54. a) $\log_4 0,9$, $\log_2 1$, $\log_7 3$, $\log_9 10;$

б) $\log_{0,5} 1$, $\log_{0,9} 5$, $\log_5 0,7$, $\log_{0,1} 10;$

В) $2^{\log_2 5}$, $\log_{12} 7$, $\log_{15} 7$, $\lg 0,3;$

Г) $9^{\log_3 15}$, $\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 4}$, $\log_{\frac{1}{7}} 1$, $\log_6 7.$

а)

• Для выражения $\log_4 0,9$: основание логарифма $a=4 > 1$, а аргумент $x=0,9$ находится в интервале $(0, 1)$. Так как логарифмическая функция с основанием больше 1 является возрастающей, то $\log_4 0,9 < \log_4 1 = 0$. Следовательно, это отрицательное число.
• Для выражения $\log_2 1$: логарифм от единицы по любому допустимому основанию равен нулю. Таким образом, $\log_2 1 = 0$.
• Для выражения $\log_7 3$: основание $a=7 > 1$, аргумент $x=3 > 1$. Так как функция является возрастающей, то $\log_7 3 > \log_7 1 = 0$. Кроме того, поскольку $3 < 7$, то $\log_7 3 < \log_7 7 = 1$. Следовательно, это положительное число в интервале $(0, 1)$.
• Для выражения $\log_9 10$: основание $a=9 > 1$, аргумент $x=10 > 1$. Так как функция является возрастающей и $10 > 9$, то $\log_9 10 > \log_9 9 = 1$. Следовательно, это положительное число, большее 1.

Ответ: $\log_4 0,9$ - отрицательное число; $\log_2 1 = 0$; $\log_7 3$ - положительное число меньше 1; $\log_9 10$ - положительное число больше 1.

б)

• Для выражения $\log_{0,5} 1$: логарифм от единицы по любому допустимому основанию равен нулю. Таким образом, $\log_{0,5} 1 = 0$.
• Для выражения $\log_{0,9} 5$: основание $a=0,9$, т.е. $0 < a < 1$, а аргумент $x=5 > 1$. Так как логарифмическая функция с основанием меньше 1 является убывающей, то $\log_{0,9} 5 < \log_{0,9} 1 = 0$. Следовательно, это отрицательное число.
• Для выражения $\log_5 0,7$: основание $a=5 > 1$, а аргумент $x=0,7 < 1$. Так как функция является возрастающей, то $\log_5 0,7 < \log_5 1 = 0$. Следовательно, это отрицательное число.
• Для выражения $\log_{0,1} 10$: основание $a=0,1 = 10^{-1}$. Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$, получаем: $\log_{0,1} 10 = \log_{10^{-1}} 10 = \frac{1}{-1} \log_{10} 10 = -1 \cdot 1 = -1$.

Ответ: $\log_{0,5} 1 = 0$; $\log_{0,9} 5$ - отрицательное число; $\log_5 0,7$ - отрицательное число; $\log_{0,1} 10 = -1$.

в)

• Для выражения $2^{\log_2 5}$: по основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ имеем $2^{\log_2 5} = 5$.
• Для выражения $\log_{12} 7$: основание $a=12 > 1$, аргумент $x=7$. Так как $1 < 7 < 12$, то $\log_{12} 1 < \log_{12} 7 < \log_{12} 12$, откуда следует, что $0 < \log_{12} 7 < 1$.
• Для выражения $\log_{15} 7$: основание $a=15 > 1$, аргумент $x=7$. Так как $1 < 7 < 15$, то $\log_{15} 1 < \log_{15} 7 < \log_{15} 15$, откуда следует, что $0 < \log_{15} 7 < 1$.
• Для выражения $\lg 0,3$: это десятичный логарифм $\log_{10} 0,3$. Основание $a=10 > 1$, аргумент $x=0,3 < 1$. Так как функция является возрастающей, то $\lg 0,3 < \lg 1 = 0$. Следовательно, это отрицательное число.

Ответ: $2^{\log_2 5} = 5$; $\log_{12} 7$ - положительное число меньше 1; $\log_{15} 7$ - положительное число меньше 1; $\lg 0,3$ - отрицательное число.

г)

• Для выражения $9^{\log_3 15}$: преобразуем, используя свойства степеней и логарифмов. $9^{\log_3 15} = (3^2)^{\log_3 15} = 3^{2 \cdot \log_3 15}$. По свойству $k \log_a b = \log_a b^k$ получаем $3^{\log_3 15^2} = 3^{\log_3 225}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ имеем $225$.
• Для выражения $\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 4}$: сначала вычислим показатель степени: $\log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2$. Тогда выражение становится $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
• Для выражения $\log_{\frac{1}{7}} 1$: логарифм от единицы по любому допустимому основанию равен нулю. Таким образом, $\log_{\frac{1}{7}} 1 = 0$.
• Для выражения $\log_6 7$: основание $a=6 > 1$, аргумент $x=7$. Так как функция является возрастающей и $7 > 6$, то $\log_6 7 > \log_6 6 = 1$. Следовательно, это положительное число, большее 1.

Ответ: $9^{\log_3 15} = 225$; $\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 4} = \frac{1}{4}$; $\log_{\frac{1}{7}} 1 = 0$; $\log_6 7$ - положительное число больше 1.