Номер 16.57, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.57, страница 103.

16.57. Известно, что $ \lg 2 = a, \lg 3 = b $. Найдите:

а) $ \log_4 12 $;

б) $ \log_6 18 $;

в) $ \log_{0,5} 3 $;

г) $ \log_{\frac{1}{3}} 24 $.

По условию известно, что $\lg 2 = a$ и $\lg 3 = b$. Запись $\lg x$ означает десятичный логарифм, то есть $\log_{10}x$.

Для решения всех подпунктов мы будем использовать формулу перехода к новому основанию для логарифмов: $\log_c d = \frac{\log_k d}{\log_k c}$. В данном случае наиболее удобно перейти к основанию 10, так как нам даны значения десятичных логарифмов.

Итак, формула будет выглядеть так: $\log_c d = \frac{\lg d}{\lg c}$.

a) $\log_4 12$

Воспользуемся формулой перехода к основанию 10:

$\log_4 12 = \frac{\lg 12}{\lg 4}$

Разложим числа 12 и 4 на простые множители, чтобы выразить их через 2 и 3:

$12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

$4 = 2^2$

Подставим эти выражения в нашу формулу:

$\log_4 12 = \frac{\lg(2^2 \cdot 3)}{\lg(2^2)}$

Используя свойства логарифма: $\lg(xy) = \lg x + \lg y$ и $\lg(x^n) = n \cdot \lg x$, получаем:

$\frac{\lg(2^2) + \lg 3}{2 \lg 2} = \frac{2 \lg 2 + \lg 3}{2 \lg 2}$

Теперь заменим $\lg 2$ на $a$ и $\lg 3$ на $b$:

$\frac{2a + b}{2a}$

Ответ: $\frac{2a + b}{2a}$

б) $\log_6 18$

Перейдем к основанию 10:

$\log_6 18 = \frac{\lg 18}{\lg 6}$

Разложим 18 и 6 на множители:

$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$

$6 = 2 \cdot 3$

Подставим в формулу и применим свойства логарифмов:

$\log_6 18 = \frac{\lg(2 \cdot 3^2)}{\lg(2 \cdot 3)} = \frac{\lg 2 + \lg(3^2)}{\lg 2 + \lg 3} = \frac{\lg 2 + 2\lg 3}{\lg 2 + \lg 3}$

Заменим $\lg 2$ на $a$ и $\lg 3$ на $b$:

$\frac{a + 2b}{a + b}$

Ответ: $\frac{a + 2b}{a + b}$

в) $\log_{0,5} 3$

Перейдем к основанию 10:

$\log_{0,5} 3 = \frac{\lg 3}{\lg 0,5}$

Представим 0,5 в виде степени числа 2:

$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

Подставим в формулу:

$\log_{0,5} 3 = \frac{\lg 3}{\lg(2^{-1})}$

Используя свойство логарифма $\lg(x^n) = n \cdot \lg x$:

$\frac{\lg 3}{-\lg 2}$

Заменим $\lg 2$ на $a$ и $\lg 3$ на $b$:

$\frac{b}{-a} = -\frac{b}{a}$

Ответ: $-\frac{b}{a}$

г) $\log_{\frac{1}{3}} 24$

Перейдем к основанию 10:

$\log_{\frac{1}{3}} 24 = \frac{\lg 24}{\lg \frac{1}{3}}$

Разложим 24 на множители и представим $\frac{1}{3}$ в виде степени:

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$

Подставим в формулу и применим свойства логарифмов:

$\log_{\frac{1}{3}} 24 = \frac{\lg(2^3 \cdot 3)}{\lg(3^{-1})} = \frac{\lg(2^3) + \lg 3}{-\lg 3} = \frac{3\lg 2 + \lg 3}{-\lg 3}$

Заменим $\lg 2$ на $a$ и $\lg 3$ на $b$:

$\frac{3a + b}{-b} = -\frac{3a + b}{b}$

Ответ: $-\frac{3a + b}{b}$