Номер 16.62, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.62, страница 103.

Упростите выражение:

16.62. a) $ (\log_a b + \log_b a + 2)(\log_a b - \log_{ab} b) \log_b a - 1; $

б) $ \frac{1 - \log_a^3 b}{(\log_a b + \log_b a + 1) \log_a \frac{a}{b}} $

а) Упростим выражение $(\log_a b + \log_b a + 2)(\log_a b - \log_{ab} b) \log_b a - 1$.

Для начала преобразуем логарифмы к одному основанию, например, к основанию $a$.

Используем свойства логарифмов:

• Формула перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.
• Еще одна формула перехода к новому основанию: $\log_{ab} b = \frac{\log_a b}{\log_a (ab)}$.
• Логарифм произведения: $\log_a (ab) = \log_a a + \log_a b = 1 + \log_a b$.

Применим эти свойства к нашему выражению:

$\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$

$\log_{ab} b = \frac{\log_a b}{\log_a a + \log_a b} = \frac{\log_a b}{1 + \log_a b}$

Для удобства введем замену: пусть $t = \log_a b$. Тогда выражение примет вид:

$(t + \frac{1}{t} + 2)(t - \frac{t}{1 + t}) \frac{1}{t} - 1$

Теперь упростим каждую скобку отдельно.

Первая скобка: $t + \frac{1}{t} + 2 = \frac{t^2 + 1 + 2t}{t} = \frac{(t+1)^2}{t}$.

Вторая скобка: $t - \frac{t}{1 + t} = \frac{t(1+t) - t}{1+t} = \frac{t+t^2-t}{1+t} = \frac{t^2}{1+t}$.

Подставим упрощенные скобки обратно в выражение:

$\frac{(t+1)^2}{t} \cdot \frac{t^2}{1+t} \cdot \frac{1}{t} - 1$

Сократим дроби:

$\frac{(t+1)^2 \cdot t^2}{t \cdot (1+t) \cdot t} - 1 = \frac{(t+1)^2 \cdot t^2}{(t+1) \cdot t^2} - 1$

При условии, что $t \neq 0$ и $t \neq -1$ (что соответствует условиям $b \neq 1$ и $ab \neq 1$), мы можем сократить $t^2$ и $(t+1)$:

$(t+1) - 1 = t$

Сделаем обратную замену $t = \log_a b$.

Ответ: $\log_a b$.

---

б) Упростим выражение $\frac{1 - \log_a^3 b}{(\log_a b + \log_b a + 1) \log_a \frac{a}{b}}$.

Преобразуем логарифмы в выражении к основанию $a$.

Используем свойства логарифмов:

• $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$
• Логарифм частного: $\log_a \frac{a}{b} = \log_a a - \log_a b = 1 - \log_a b$.

Введем замену: пусть $t = \log_a b$. Тогда выражение примет вид:

$\frac{1 - t^3}{(t + \frac{1}{t} + 1)(1-t)}$

Упростим числитель и знаменатель.

Числитель представляет собой разность кубов: $1 - t^3 = (1-t)(1+t+t^2)$.

Преобразуем первую скобку в знаменателе: $t + \frac{1}{t} + 1 = \frac{t^2 + 1 + t}{t} = \frac{t^2+t+1}{t}$.

Подставим преобразованные части в выражение:

$\frac{(1-t)(1+t+t^2)}{(\frac{t^2+t+1}{t})(1-t)}$

При условии, что $t \neq 1$ (что соответствует $a \neq b$), мы можем сократить множитель $(1-t)$. Также можно сократить $(t^2+t+1)$, так как этот трехчлен всегда больше нуля при любом действительном $t$.

$\frac{1+t+t^2}{\frac{t^2+t+1}{t}} = \frac{t^2+t+1}{1} \cdot \frac{t}{t^2+t+1} = t$

Сделаем обратную замену $t = \log_a b$.

Ответ: $\log_a b$.