Номер 16.66, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.66, страница 104.

16.66. Найдите координаты центра симметрии графика функции $y = x + \lg \frac{x^2 + 2x}{x^2 + 10x + 24}$.

Для того чтобы найти координаты центра симметрии $(a, b)$ графика функции $y = f(x)$, необходимо проверить выполнение условия: для любого $h$ из области определения функции, $\frac{f(a+h) + f(a-h)}{2} = b$. Это равносильно тому, что $f(a+h) + f(a-h) = 2b$ (сумма значений функции в точках, симметричных относительно $a$, постоянна и равна $2b$), а также область определения функции должна быть симметрична относительно точки $x=a$.

Данная функция: $y = x + \lg \frac{x^2 + 2x}{x^2 + 10x + 24}$.

1. Найдём область определения функции.

Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\frac{x^2 + 2x}{x^2 + 10x + 24} > 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$x^2 + 2x = x(x+2)$

$x^2 + 10x + 24 = (x+4)(x+6)$ (корни $x = -4$ и $x = -6$)

Неравенство принимает вид:

$\frac{x(x+2)}{(x+4)(x+6)} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули и точки разрыва: $-6, -4, -2, 0$.

Они разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, -6)$, $(-6, -4)$, $(-4, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, +\infty)$.

Проверяя знак выражения на каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -6) \cup (-4, -2) \cup (0, +\infty)$.

Итак, область определения функции $D(f) = (-\infty, -6) \cup (-4, -2) \cup (0, +\infty)$.

2. Найдём абсциссу центра симметрии $a$.

Область определения должна быть симметрична относительно $x=a$. Заметим, что интервалы $(-4, -2)$ и $(-\infty, -6) \cup (0, +\infty)$ симметричны относительно точки $x=-3$.

Например, середина интервала $(-4, -2)$ равна $\frac{-4-2}{2} = -3$.

Края "внешней" части области определения, $-6$ и $0$, также симметричны относительно $-3$: $\frac{-6+0}{2} = -3$.

Таким образом, можно предположить, что абсцисса центра симметрии $a = -3$.

3. Проверим условие симметрии и найдём ординату $b$.

Нам нужно проверить, что сумма $f(-3+h) + f(-3-h)$ является константой. Эта константа будет равна $2b$.

$f(x) = x + \lg g(x)$, где $g(x) = \frac{x^2+2x}{x^2+10x+24}$.

$f(-3+h) + f(-3-h) = (-3+h) + \lg g(-3+h) + (-3-h) + \lg g(-3-h)$

$f(-3+h) + f(-3-h) = -6 + \lg(g(-3+h) \cdot g(-3-h))$

Вычислим произведение $g(-3+h) \cdot g(-3-h)$:

$g(-3+h) = \frac{(-3+h)^2 + 2(-3+h)}{(-3+h)^2 + 10(-3+h) + 24} = \frac{(-3+h)(-3+h+2)}{(-3+h+4)(-3+h+6)} = \frac{(h-3)(h-1)}{(h+1)(h+3)}$

$g(-3-h) = \frac{(-3-h)^2 + 2(-3-h)}{(-3-h)^2 + 10(-3-h) + 24} = \frac{(-3-h)(-3-h+2)}{(-3-h+4)(-3-h+6)} = \frac{(-(h+3))(-(h+1))}{(-(h-1))(-(h-3))} = \frac{(h+3)(h+1)}{(h-1)(h-3)}$

Теперь перемножим эти два выражения:

$g(-3+h) \cdot g(-3-h) = \frac{(h-3)(h-1)}{(h+1)(h+3)} \cdot \frac{(h+3)(h+1)}{(h-1)(h-3)} = 1$

Подставим это значение обратно в сумму:

$f(-3+h) + f(-3-h) = -6 + \lg(1) = -6 + 0 = -6$

Мы получили, что $f(a+h) + f(a-h) = 2b = -6$, откуда находим $b$:

$b = \frac{-6}{2} = -3$.

Таким образом, координаты центра симметрии графика функции равны $(-3, -3)$.

Ответ: $(-3, -3)$.