Номер 17.2, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.2, страница 104.

17.2. a) $\log_x 16 = 2$;

б) $\log_x \frac{1}{8} = -3$;

в) $\log_x \sqrt{3} = -1$;

г) $\log_x 9 = \frac{1}{2}$.

а) $\log_x 16 = 2$

По определению логарифма, данное уравнение равносильно показательному уравнению $x^2 = 16$. При этом на основание логарифма $x$ накладываются ограничения: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Решая уравнение $x^2 = 16$, получаем два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Условию $x > 0$ удовлетворяет только корень $x = 4$. Он также удовлетворяет условию $x \neq 1$.

Ответ: $4$

б) $\log_x \frac{1}{8} = -3$

Согласно определению логарифма, это уравнение эквивалентно уравнению $x^{-3} = \frac{1}{8}$. Условия для основания логарифма $x$: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, перепишем уравнение: $\frac{1}{x^3} = \frac{1}{8}$.

Отсюда следует, что $x^3 = 8$.

Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $x = \sqrt[3]{8} = 2$. Это значение удовлетворяет условиям для основания логарифма.

Ответ: $2$

в) $\log_x \sqrt{3} = -1$

По определению логарифма, данное уравнение равносильно $x^{-1} = \sqrt{3}$. Условия для основания логарифма $x$: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Перепишем уравнение, используя свойство степени $x^{-1} = \frac{1}{x}$. Получаем $\frac{1}{x} = \sqrt{3}$.

Выразим $x$: $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $x = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Это значение положительно и не равно единице, следовательно, удовлетворяет условиям.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

г) $\log_x 9 = \frac{1}{2}$

По определению логарифма, данное уравнение можно переписать в виде $x^{\frac{1}{2}} = 9$. Условия для основания логарифма $x$: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Уравнение $x^{\frac{1}{2}} = 9$ эквивалентно $\sqrt{x} = 9$.

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = 9^2$.

Получаем $x = 81$. Это значение удовлетворяет условиям для основания логарифма.

Ответ: $81$