Номер 17.3, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.3, страница 104.

17.3. a) $\log_{\sqrt{2}}(2x+1)=6$;

б) $\log_{\sqrt{3}+1}(3x+2\sqrt{3})=2$;

В) $\log_{2\sqrt{2}}16x=4$;

Г) $\log_{\sqrt{5}-1}(3x-2\sqrt{5})=2$.

а) $log_{\sqrt{2}}(2x + 1) = 6$

Для решения логарифмического уравнения воспользуемся его определением: $log_b(a) = c$ эквивалентно $a = b^c$. Также необходимо учесть Область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.

ОДЗ: $2x + 1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -0.5$.

Согласно определению логарифма, преобразуем исходное уравнение: $2x + 1 = (\sqrt{2})^6$

Вычислим значение в правой части уравнения: $(\sqrt{2})^6 = (2^{1/2})^6 = 2^{(1/2) \cdot 6} = 2^3 = 8$.

Теперь уравнение принимает вид: $2x + 1 = 8$

Решаем полученное линейное уравнение: $2x = 8 - 1$ $2x = 7$ $x = \frac{7}{2} = 3.5$

Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень $x=3.5$ условию ОДЗ ($x > -0.5$). $3.5 > -0.5$, следовательно, корень подходит.

Ответ: $3.5$

б) $log_{\sqrt{3}+1}(3x + 2\sqrt{3}) = 2$

ОДЗ: $3x + 2\sqrt{3} > 0$.

По определению логарифма: $3x + 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} + 1)^2$

Раскроем квадрат суммы в правой части по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $(\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$.

Подставляем результат в уравнение: $3x + 2\sqrt{3} = 4 + 2\sqrt{3}$

Вычтем $2\sqrt{3}$ из обеих частей уравнения: $3x = 4$

Отсюда находим x: $x = \frac{4}{3}$

Проверка ОДЗ: подставим $x = 4/3$ в неравенство $3x + 2\sqrt{3} > 0$. $3 \cdot (\frac{4}{3}) + 2\sqrt{3} = 4 + 2\sqrt{3}$. Так как $4 > 0$ и $2\sqrt{3} > 0$, их сумма также больше нуля. Условие ОДЗ выполняется.

Ответ: $\frac{4}{3}$

в) $log_{2\sqrt{2}}16x = 4$

ОДЗ: $16x > 0 \implies x > 0$.

По определению логарифма: $16x = (2\sqrt{2})^4$

Упростим основание степени: $2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{1/2} = 2^{1+1/2} = 2^{3/2}$.

Теперь вычислим правую часть: $(2\sqrt{2})^4 = (2^{3/2})^4 = 2^{(3/2) \cdot 4} = 2^6 = 64$.

Уравнение принимает вид: $16x = 64$

Решаем его: $x = \frac{64}{16} = 4$

Проверяем ОДЗ: $4 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $4$

г) $log_{\sqrt{5}-1}(3x - 2\sqrt{5}) = 2$

ОДЗ: $3x - 2\sqrt{5} > 0$.

По определению логарифма: $3x - 2\sqrt{5} = (\sqrt{5} - 1)^2$

Раскроем квадрат разности в правой части по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(\sqrt{5} - 1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}$.

Подставляем результат в уравнение: $3x - 2\sqrt{5} = 6 - 2\sqrt{5}$

Прибавим $2\sqrt{5}$ к обеим частям уравнения: $3x = 6$

Отсюда находим x: $x = \frac{6}{3} = 2$

Проверка ОДЗ: подставим $x=2$ в неравенство $3x - 2\sqrt{5} > 0$. $3 \cdot 2 - 2\sqrt{5} = 6 - 2\sqrt{5}$. Чтобы проверить, является ли это выражение положительным, сравним $6$ и $2\sqrt{5}$. Поскольку обе части положительны, можно сравнить их квадраты: $6^2 = 36$ и $(2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$. Так как $36 > 20$, то $6 > 2\sqrt{5}$, и, следовательно, $6 - 2\sqrt{5} > 0$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $2$