Номер 16.67, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.67, страница 104.

16.67. Расположите комплексные числа в порядке возрастанияих аргументов:

$z_1 = \log_2 0,7 + i \log_{0,5} 7$, $z_2 = \ln 10 + i \lg e$,

$z_3 = \ln \pi + i \ln (\pi - 3)$, $z_4 = \log_3 0,3 + i \log_{0,3} 0,9$.

(Указание. $-\pi < \arg z \le \pi$.)

Для того чтобы расположить комплексные числа в порядке возрастания их аргументов, необходимо определить, в какой четверти комплексной плоскости находится каждое число. Аргумент $\phi$ комплексного числа $z = x + iy$ определяется положением точки $(x, y)$ и, согласно указанию, находится в пределах $(-\pi, \pi]$. В зависимости от знаков действительной ($x$) и мнимой ($y$) частей, точка $(x,y)$ попадает в одну из четырех четвертей:

• Если $x > 0$ и $y > 0$ (I четверть), то $0 < \arg z < \pi/2$.
• Если $x < 0$ и $y > 0$ (II четверть), то $\pi/2 < \arg z < \pi$.
• Если $x < 0$ и $y < 0$ (III четверть), то $-\pi < \arg z < -\pi/2$.
• Если $x > 0$ и $y < 0$ (IV четверть), то $-\pi/2 < \arg z < 0$.

Проанализируем каждое комплексное число.

$z_1 = \log_2{0.7} + i \log_{0.5}{7}$

Определим знаки действительной части $x_1 = \log_2{0.7}$ и мнимой части $y_1 = \log_{0.5}{7}$.
Действительная часть: так как основание логарифма $2 > 1$, а число под логарифмом $0.7 < 1$, то $x_1 = \log_2{0.7} < 0$.
Мнимая часть: так как основание логарифма $0.5 < 1$, а число под логарифмом $7 > 1$, то $y_1 = \log_{0.5}{7} < 0$.
Поскольку $x_1 < 0$ и $y_1 < 0$, число $z_1$ находится в третьей четверти. Следовательно, его аргумент $\arg z_1 \in (-\pi, -\pi/2)$.

$z_2 = \ln{10} + i \lg{e}$

Определим знаки действительной части $x_2 = \ln{10}$ и мнимой части $y_2 = \lg{e}$.
Действительная часть: так как основание натурального логарифма $e > 1$ и число $10 > 1$, то $x_2 = \ln{10} > 0$.
Мнимая часть: так как основание десятичного логарифма $10 > 1$ и число $e > 1$, то $y_2 = \lg{e} > 0$.
Поскольку $x_2 > 0$ и $y_2 > 0$, число $z_2$ находится в первой четверти. Следовательно, его аргумент $\arg z_2 \in (0, \pi/2)$.

$z_3 = \ln{\pi} + i \ln{(\pi - 3)}$

Определим знаки действительной части $x_3 = \ln{\pi}$ и мнимой части $y_3 = \ln{(\pi - 3)}$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$.
Действительная часть: так как основание $e > 1$ и число $\pi > 1$, то $x_3 > 0$.
Мнимая часть: так как $0 < \pi - 3 < 1$, а основание $e > 1$, то $y_3 < 0$.
Поскольку $x_3 > 0$ и $y_3 < 0$, число $z_3$ находится в четвертой четверти. Следовательно, его аргумент $\arg z_3 \in (-\pi/2, 0)$.

$z_4 = \log_3{0.3} + i \log_{0.3}{0.9}$

Определим знаки действительной части $x_4 = \log_3{0.3}$ и мнимой части $y_4 = \log_{0.3}{0.9}$.
Действительная часть: так как основание $3 > 1$, а число $0.3 < 1$, то $x_4 < 0$.
Мнимая часть: так как основание $0.3 < 1$ и число $0.9$ удовлетворяет условию $0.3 < 0.9 < 1$, то $y_4 > 0$. Это следует из того, что функция $f(t)=(0.3)^t$ является убывающей, при этом $(0.3)^1=0.3$ и $(0.3)^0=1$. Так как $0.3 < 0.9 < 1$, то и $0 < y_4 < 1$.
Поскольку $x_4 < 0$ и $y_4 > 0$, число $z_4$ находится во второй четверти. Следовательно, его аргумент $\arg z_4 \in (\pi/2, \pi)$.

Сравнивая полученные интервалы для аргументов:

• $\arg z_1 \in (-\pi, -\pi/2)$
• $\arg z_3 \in (-\pi/2, 0)$
• $\arg z_2 \in (0, \pi/2)$
• $\arg z_4 \in (\pi/2, \pi)$

получаем следующее неравенство для их аргументов: $\arg z_1 < \arg z_3 < \arg z_2 < \arg z_4$.
Таким образом, комплексные числа в порядке возрастания их аргументов располагаются следующим образом: $z_1, z_3, z_2, z_4$.

Ответ: $z_1, z_3, z_2, z_4$.