Номер 17.6, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.6, страница 105.

17.6. a) $\log_2 (3x - 6) = \log_2 (2x - 3);$

б) $\log_6 (14 + 4x) = \log_6 (2x + 2);$

в) $\log_{\frac{1}{6}} (7x - 9) = \log_{\frac{1}{6}} x;$

г) $\log_{0,2} (12x + 8) = \log_{0,2} (11x + 7).$

а) Дано логарифмическое уравнение $\log_2(3x - 6) = \log_2(2x - 3)$.
Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять выражения под знаком логарифма. Однако сначала необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ), при которых аргументы логарифмов положительны.
Составим систему неравенств:
$\begin{cases} 3x - 6 > 0 \\ 2x - 3 > 0 \end{cases}$
Решим ее:
$\begin{cases} 3x > 6 \\ 2x > 3 \end{cases}$
$\begin{cases} x > 2 \\ x > 1.5 \end{cases}$
Пересечением этих двух условий является $x > 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (2; +\infty)$.
Теперь решим само уравнение:
$3x - 6 = 2x - 3$
$3x - 2x = 6 - 3$
$x = 3$
Найденное значение $x = 3$ удовлетворяет условию ОДЗ ($3 > 2$), следовательно, является корнем уравнения.
Ответ: 3.

б) Дано логарифмическое уравнение $\log_6(14 + 4x) = \log_6(2x + 2)$.
Найдем ОДЗ, решив систему неравенств:
$\begin{cases} 14 + 4x > 0 \\ 2x + 2 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 4x > -14 \\ 2x > -2 \end{cases}$
$\begin{cases} x > -3.5 \\ x > -1 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > -1$. ОДЗ: $x \in (-1; +\infty)$.
Приравняем аргументы логарифмов:
$14 + 4x = 2x + 2$
$4x - 2x = 2 - 14$
$2x = -12$
$x = -6$
Полученное значение $x = -6$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-6 < -1$. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет корней.

в) Дано логарифмическое уравнение $\log_{\frac{1}{6}}(7x - 9) = \log_{\frac{1}{6}}x$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 7x - 9 > 0 \\ x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 7x > 9 \\ x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x > \frac{9}{7} \\ x > 0 \end{cases}$
Пересечением является $x > \frac{9}{7}$. ОДЗ: $x \in (\frac{9}{7}; +\infty)$.
Решим уравнение:
$7x - 9 = x$
$6x = 9$
$x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. Так как $1.5 = \frac{3}{2} = \frac{21}{14}$ и $\frac{9}{7} = \frac{18}{14}$, то $1.5 > \frac{9}{7}$. Корень $x=1.5$ принадлежит ОДЗ.
Ответ: 1,5.

г) Дано логарифмическое уравнение $\log_{0.2}(12x + 8) = \log_{0.2}(11x + 7)$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 12x + 8 > 0 \\ 11x + 7 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 12x > -8 \\ 11x > -7 \end{cases}$
$\begin{cases} x > -\frac{8}{12} \\ x > -\frac{7}{11} \end{cases}$
$\begin{cases} x > -\frac{2}{3} \\ x > -\frac{7}{11} \end{cases}$
Чтобы сравнить дроби $-\frac{2}{3}$ и $-\frac{7}{11}$, приведем их к общему знаменателю: $-\frac{2}{3} = -\frac{22}{33}$ и $-\frac{7}{11} = -\frac{21}{33}$. Так как $-\frac{22}{33} < -\frac{21}{33}$, то более строгим является неравенство $x > -\frac{7}{11}$.
ОДЗ: $x \in (-\frac{7}{11}; +\infty)$.
Решим уравнение:
$12x + 8 = 11x + 7$
$12x - 11x = 7 - 8$
$x = -1$
Проверим корень. Так как $-1 < -\frac{7}{11}$, значение $x = -1$ не входит в ОДЗ. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет корней.