Номер 17.11, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.11, страница 105.

17.11. а) Известно, что $f(x) = \log_3(5x - 2)$. Решите уравнение $f(x) = f(3x - 1)$.

б) Известно, что $f(x) = \log_2(8x - 1)$. Решите уравнение $f(x) = f\left(\frac{x}{2} + 5\right)$.

в) Известно, что $f(x) = \log_{0,2}(3x - 6)$. Решите уравнение $f\left(\frac{1}{3}x - 1\right) = f(x^2 - 1)$.

г) Известно, что $f(x) = \log_{1,4}(4x + 1)$. Решите уравнение $f\left(\frac{1}{4}x - 3\right) = f(x^2 - 3)$.

а)

Дана функция $f(x) = \log_3(5x - 2)$. Нужно решить уравнение $f(x) = f(3x - 1)$.

Подставим выражения в функцию:

$f(x) = \log_3(5x - 2)$

$f(3x - 1) = \log_3(5(3x - 1) - 2) = \log_3(15x - 5 - 2) = \log_3(15x - 7)$

Получаем уравнение: $\log_3(5x - 2) = \log_3(15x - 7)$.

Логарифмическая функция является монотонной, поэтому если равны значения функции, то равны и ее аргументы. Перед решением найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 5x - 2 > 0 \\ 15x - 7 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 5x > 2 \\ 15x > 7 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{2}{5} \\ x > \frac{7}{15} \end{cases}$

Сравним дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{7}{15}$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$. Так как $\frac{7}{15} > \frac{6}{15}$, то ОДЗ: $x > \frac{7}{15}$.

Теперь решим уравнение, приравняв аргументы логарифмов:

$5x - 2 = 15x - 7$

$15x - 5x = 7 - 2$

$10x = 5$

$x = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. Нам нужно, чтобы $x > \frac{7}{15}$.

Сравним $\frac{1}{2}$ и $\frac{7}{15}$. $\frac{1}{2} = \frac{7.5}{15}$. Так как $\frac{7.5}{15} > \frac{7}{15}$, корень $x = \frac{1}{2}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б)

Дана функция $f(x) = \log_2(8x - 1)$. Нужно решить уравнение $f(x) = f(\frac{x}{2} + 5)$.

Подставим выражения в функцию:

$f(x) = \log_2(8x - 1)$

$f(\frac{x}{2} + 5) = \log_2(8(\frac{x}{2} + 5) - 1) = \log_2(4x + 40 - 1) = \log_2(4x + 39)$

Получаем уравнение: $\log_2(8x - 1) = \log_2(4x + 39)$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 8x - 1 > 0 \\ 4x + 39 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 8x > 1 \\ 4x > -39 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{1}{8} \\ x > -\frac{39}{4} \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > \frac{1}{8}$.

Решим уравнение, приравняв аргументы:

$8x - 1 = 4x + 39$

$8x - 4x = 39 + 1$

$4x = 40$

$x = 10$

Проверим корень по ОДЗ: $10 > \frac{1}{8}$. Условие выполняется.

Ответ: $10$

в)

Дана функция $f(x) = \log_{0.2}(3x - 6)$. Нужно решить уравнение $f(\frac{1}{3}x - 1) = f(x^2 - 1)$.

Подставим выражения в функцию:

$f(\frac{1}{3}x - 1) = \log_{0.2}(3(\frac{1}{3}x - 1) - 6) = \log_{0.2}(x - 3 - 6) = \log_{0.2}(x - 9)$

$f(x^2 - 1) = \log_{0.2}(3(x^2 - 1) - 6) = \log_{0.2}(3x^2 - 3 - 6) = \log_{0.2}(3x^2 - 9)$

Получаем уравнение: $\log_{0.2}(x - 9) = \log_{0.2}(3x^2 - 9)$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x - 9 > 0 \\ 3x^2 - 9 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 9 \\ 3x^2 > 9 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 9 \\ x^2 > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 9 \\ x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty) \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 9$.

Решим уравнение, приравняв аргументы:

$x - 9 = 3x^2 - 9$

$3x^2 - x = 0$

$x(3x - 1) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $3x - 1 = 0 \implies x_2 = \frac{1}{3}$.

Проверим корни по ОДЗ ($x > 9$).

$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $0 > 9$.

$x_2 = \frac{1}{3}$ не удовлетворяет условию $\frac{1}{3} > 9$.

Ни один из найденных корней не входит в ОДЗ. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (нет корней)

г)

Дана функция $f(x) = \log_{1.4}(4x + 1)$. Нужно решить уравнение $f(\frac{1}{4}x - 3) = f(x^2 - 3)$.

Подставим выражения в функцию:

$f(\frac{1}{4}x - 3) = \log_{1.4}(4(\frac{1}{4}x - 3) + 1) = \log_{1.4}(x - 12 + 1) = \log_{1.4}(x - 11)$

$f(x^2 - 3) = \log_{1.4}(4(x^2 - 3) + 1) = \log_{1.4}(4x^2 - 12 + 1) = \log_{1.4}(4x^2 - 11)$

Получаем уравнение: $\log_{1.4}(x - 11) = \log_{1.4}(4x^2 - 11)$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x - 11 > 0 \\ 4x^2 - 11 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 11 \\ 4x^2 > 11 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 11 \\ x^2 > \frac{11}{4} \end{cases} \implies \begin{cases} x > 11 \\ x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{11}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{11}}{2}; +\infty) \end{cases}$

Так как $\frac{\sqrt{11}}{2} \approx \frac{3.32}{2} = 1.66$, то условие $x > 11$ является более строгим. ОДЗ: $x > 11$.

Решим уравнение, приравняв аргументы:

$x - 11 = 4x^2 - 11$

$4x^2 - x = 0$

$x(4x - 1) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $4x - 1 = 0 \implies x_2 = \frac{1}{4}$.

Проверим корни по ОДЗ ($x > 11$).

$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $0 > 11$.

$x_2 = \frac{1}{4}$ не удовлетворяет условию $\frac{1}{4} > 11$.

Ни один из найденных корней не входит в ОДЗ. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (нет корней)