Номер 17.16, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.16, страница 106.

17.16. a) $2 \log_8 x = \log_8 2,5 + \log_8 10;$

б) $3 \log_2 \frac{1}{2} - \log_2 \frac{1}{32} = \log_2 x;$

в) $3 \log_{\frac{1}{7}} x = \log_{\frac{1}{7}} 9 + \log_{\frac{1}{7}} 3;$

г) $4 \log_{0,1} x = \log_{0,1} 2 + \log_{0,1} 8.$

а) Исходное уравнение: $2 \log_8 x = \log_8 2,5 + \log_8 10$.
Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.
Далее, преобразуем обе части уравнения, используя свойства логарифмов.
Для левой части используем свойство степени логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$:
$2 \log_8 x = \log_8 x^2$.
Для правой части используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:
$\log_8 2,5 + \log_8 10 = \log_8 (2,5 \cdot 10) = \log_8 25$.
Теперь уравнение принимает вид:
$\log_8 x^2 = \log_8 25$.
Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:
$x^2 = 25$.
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$). Корень $x = -5$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Корень $x = 5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 5.

б) Исходное уравнение: $3 \log_2 \frac{1}{2} - \log_2 \frac{1}{32} = \log_2 x$.
ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем левую часть уравнения. Применим свойство степени логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$ к первому слагаемому:
$3 \log_2 \frac{1}{2} = \log_2 ((\frac{1}{2})^3) = \log_2 \frac{1}{8}$.
Теперь уравнение выглядит так:
$\log_2 \frac{1}{8} - \log_2 \frac{1}{32} = \log_2 x$.
Далее используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$:
$\log_2 (\frac{1/8}{1/32}) = \log_2 x$.
Упростим выражение под знаком логарифма в левой части:
$\frac{1/8}{1/32} = \frac{1}{8} \cdot 32 = \frac{32}{8} = 4$.
Уравнение принимает вид:
$\log_2 4 = \log_2 x$.
Приравниваем аргументы логарифмов:
$x = 4$.
Корень $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: 4.

в) Исходное уравнение: $3 \log_{\frac{1}{7}} x = \log_{\frac{1}{7}} 9 + \log_{\frac{1}{7}} 3$.
ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем левую часть, используя свойство $n \log_a b = \log_a b^n$:
$3 \log_{\frac{1}{7}} x = \log_{\frac{1}{7}} x^3$.
Преобразуем правую часть, используя свойство $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:
$\log_{\frac{1}{7}} 9 + \log_{\frac{1}{7}} 3 = \log_{\frac{1}{7}} (9 \cdot 3) = \log_{\frac{1}{7}} 27$.
Получаем уравнение:
$\log_{\frac{1}{7}} x^3 = \log_{\frac{1}{7}} 27$.
Приравниваем аргументы:
$x^3 = 27$.
Извлекаем кубический корень из обеих частей:
$x = \sqrt[3]{27} = 3$.
Корень $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: 3.

г) Исходное уравнение: $4 \log_{0,1} x = \log_{0,1} 2 + \log_{0,1} 8$.
ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем левую часть по свойству степени логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$:
$4 \log_{0,1} x = \log_{0,1} x^4$.
Преобразуем правую часть по свойству суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:
$\log_{0,1} 2 + \log_{0,1} 8 = \log_{0,1} (2 \cdot 8) = \log_{0,1} 16$.
Уравнение принимает вид:
$\log_{0,1} x^4 = \log_{0,1} 16$.
Приравниваем аргументы логарифмов:
$x^4 = 16$.
Это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$). Корень $x = -2$ не подходит. Корень $x = 2$ подходит.
Ответ: 2.