Номер 17.9, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.9, страница 105.

17.9. a) $3^{\log_4(-5x)} = \log_5 125$;

б) $2^{\log_3(2x+8)} = \log_{\sqrt{3}} 9$;

В) $\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{0.5}(9x-10)} = \log_9 729$;

Г) $(0.2)^{\log_{0.7}(-3x+1)} = \log_2 0.5$.

а) $3^{\log_4(-5x)} = \log_5 125$

Сначала найдем значение выражения в правой части уравнения. По определению логарифма, $\log_5 125$ - это степень, в которую нужно возвести 5, чтобы получить 125. Так как $5^3 = 125$, то $\log_5 125 = 3$.

Теперь уравнение принимает вид:

$3^{\log_4(-5x)} = 3$

Поскольку основания степеней ($3$) равны, мы можем приравнять их показатели:

$\log_4(-5x) = 1$

Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ):

$-5x > 0$

$x < 0$

Теперь решим логарифмическое уравнение, используя определение логарифма ($ \log_a b = c \iff a^c = b $):

$-5x = 4^1$

$-5x = 4$

$x = -4/5 = -0.8$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Условие $x < 0$ выполняется, так как $-0.8 < 0$.

Ответ: $-0.8$

б) $2^{\log_3(2x+8)} = \log_{\sqrt{3}} 9$

Вычислим значение в правой части уравнения. Пусть $\log_{\sqrt{3}} 9 = y$. Тогда $(\sqrt{3})^y = 9$. Представим обе части как степени числа 3: $(3^{1/2})^y = 3^2$, что равносильно $3^{y/2} = 3^2$. Отсюда $y/2 = 2$, и $y=4$. Таким образом, $\log_{\sqrt{3}} 9 = 4$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$2^{\log_3(2x+8)} = 4$

Представим правую часть как степень с основанием 2: $4 = 2^2$.

$2^{\log_3(2x+8)} = 2^2$

Приравниваем показатели степеней:

$\log_3(2x+8) = 2$

ОДЗ: выражение под логарифмом должно быть положительным:

$2x+8 > 0$

$2x > -8$

$x > -4$

Решаем уравнение по определению логарифма:

$2x+8 = 3^2$

$2x+8 = 9$

$2x = 1$

$x = 1/2 = 0.5$

Проверяем корень по ОДЗ: $0.5 > -4$. Условие выполняется.

Ответ: $0.5$

в) $(\frac{1}{3})^{\log_{0.5}(9x-10)} = \log_9 729$

Вычислим правую часть уравнения. Так как $9^3 = 729$, то $\log_9 729 = 3$.

Уравнение принимает вид:

$(\frac{1}{3})^{\log_{0.5}(9x-10)} = 3$

Представим основание степени в левой части как $3^{-1}$:

$(3^{-1})^{\log_{0.5}(9x-10)} = 3^1$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ получаем:

$3^{-\log_{0.5}(9x-10)} = 3^1$

Приравниваем показатели степеней:

$-\log_{0.5}(9x-10) = 1$

$\log_{0.5}(9x-10) = -1$

ОДЗ: $9x-10 > 0$, откуда $9x > 10$, то есть $x > 10/9$.

Решаем уравнение по определению логарифма, учитывая, что $0.5 = 1/2$:

$9x-10 = (0.5)^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$

$9x-10 = 2$

$9x = 12$

$x = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

Проверяем корень по ОДЗ. Нам нужно сравнить $\frac{4}{3}$ и $\frac{10}{9}$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{4}{3} = \frac{12}{9}$. Так как $\frac{12}{9} > \frac{10}{9}$, условие ОДЗ выполняется.

Ответ: $\frac{4}{3}$

г) $(0.2)^{\log_{0.7}(-3x+1)} = \log_2 0.5$

Вычислим правую часть уравнения. Так как $0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$, то $\log_2 0.5 = \log_2 2^{-1} = -1$.

Уравнение принимает вид:

$(0.2)^{\log_{0.7}(-3x+1)} = -1$

Рассмотрим левую часть уравнения. Она представляет собой степень с положительным основанием $0.2$. По свойству показательной функции $y = a^x$ (где $a > 0, a \ne 1$), ее значение всегда положительно, то есть $a^x > 0$ для любого действительного $x$.

Таким образом, левая часть уравнения $(0.2)^{\log_{0.7}(-3x+1)}$ всегда больше нуля для всех $x$ из области допустимых значений.

Правая часть уравнения равна $-1$.

Поскольку положительное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет