Номер 17.12, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.12, страница 106.

Решите уравнение:

17.12. a) $log_2(2x^3 - x^2 - 2x) = log_2(x^3 + 2x^2 + 2x);$

б) $log_3(3x^3 - 2x^2 + 4x) = log_3(2x^3 + 2x^2 + 3x - 6);$

в) $log_{0,2}(x^3 + 5x^2 + 6x + 1) = log_{0,2}(-x^3 + 2x^2 + 3x);$

г) $log_{0,4}(2x^3 + x^2 - 5x - 7) = log_{0,4}(x^3 - 2x^2 - 2x + 7).$

а) $\log_2(2x^3 - x^2 - 2x) = \log_2(x^3 + 2x^2 + 2x)$
Данное логарифмическое уравнение равносильно системе, состоящей из уравнения, полученного приравниванием аргументов логарифмов, и неравенства, задающего область допустимых значений (ОДЗ). Достаточно потребовать, чтобы один из аргументов был строго больше нуля.
$\begin{cases} 2x^3 - x^2 - 2x = x^3 + 2x^2 + 2x \\ x^3 + 2x^2 + 2x > 0 \end{cases}$
Сначала решим уравнение:
$2x^3 - x^2 - 2x - x^3 - 2x^2 - 2x = 0$
$x^3 - 3x^2 - 4x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x^2 - 3x - 4) = 0$
Получаем, что либо $x_1 = 0$, либо $x^2 - 3x - 4 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Его дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Корни уравнения: $x_{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4$ и $x_{3} = \frac{3 - 5}{2} = -1$.
Мы получили три потенциальных корня: $0, 4, -1$.
Теперь проверим эти корни, подставив их в неравенство ОДЗ: $x^3 + 2x^2 + 2x > 0$.
$x(x^2 + 2x + 2) > 0$.
Квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 2$ имеет дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -4 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, этот трехчлен всегда принимает положительные значения. Следовательно, знак всего выражения зависит только от знака $x$. Неравенство равносильно $x > 0$.
Проверим найденные корни:
- $x = 0$: не удовлетворяет условию $x > 0$.
- $x = 4$: удовлетворяет условию $x > 0$.
- $x = -1$: не удовлетворяет условию $x > 0$.
Таким образом, подходит только один корень.
Ответ: $4$.

б) $\log_3(3x^3 - 2x^2 + 4x) = \log_3(2x^3 + 2x^2 + 3x - 6)$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 3x^3 - 2x^2 + 4x = 2x^3 + 2x^2 + 3x - 6 \\ 3x^3 - 2x^2 + 4x > 0 \end{cases}$
Решим уравнение:
$3x^3 - 2x^3 - 2x^2 - 2x^2 + 4x - 3x + 6 = 0$
$x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$
Найдем целые корни этого кубического уравнения среди делителей свободного члена (числа 6): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Подставим $x = -1$: $(-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$. Значит, $x = -1$ является корнем.
Разделим многочлен $x^3 - 4x^2 + x + 6$ на двучлен $(x+1)$ и получим $x^2 - 5x + 6$.
Уравнение примет вид $(x+1)(x^2 - 5x + 6) = 0$.
Корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ легко находятся по теореме Виета: $x_2=2, x_3=3$.
Потенциальные корни исходного уравнения: $-1, 2, 3$.
Проверим их по условию ОДЗ: $3x^3 - 2x^2 + 4x > 0$.
- При $x = -1$: $3(-1)^3 - 2(-1)^2 + 4(-1) = -3 - 2 - 4 = -9$. Так как $-9 < 0$, корень не подходит.
- При $x = 2$: $3(2)^3 - 2(2)^2 + 4(2) = 24 - 8 + 8 = 24$. Так как $24 > 0$, корень подходит.
- При $x = 3$: $3(3)^3 - 2(3)^2 + 4(3) = 81 - 18 + 12 = 75$. Так как $75 > 0$, корень подходит.
Ответ: $2; 3$.

в) $\log_{0,2}(x^3 + 5x^2 + 6x + 1) = \log_{0,2}(-x^3 + 2x^2 + 3x)$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^3 + 5x^2 + 6x + 1 = -x^3 + 2x^2 + 3x \\ -x^3 + 2x^2 + 3x > 0 \end{cases}$
Решим уравнение:
$2x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0$
Найдем рациональные корни. Проверим $x = -1/2$:
$2(-\frac{1}{2})^3 + 3(-\frac{1}{2})^2 + 3(-\frac{1}{2}) + 1 = 2(-\frac{1}{8}) + 3(\frac{1}{4}) - \frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{2}{4} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 = -1 + 1 = 0$.
$x = -1/2$ является корнем. Разделим многочлен $2x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ на $(2x+1)$ и получим $x^2 + x + 1$.
Уравнение примет вид $(2x+1)(x^2 + x + 1) = 0$.
Дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + x + 1$ равен $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, действительных корней он не имеет.
Единственный потенциальный корень: $x = -1/2$.
Проверим его по условию ОДЗ: $-x^3 + 2x^2 + 3x > 0$.
При $x = -1/2$: $-(-1/2)^3 + 2(-1/2)^2 + 3(-1/2) = -(-1/8) + 2(1/4) - 3/2 = 1/8 + 1/2 - 3/2 = 1/8 - 1 = -7/8$.
Так как $-7/8 < 0$, корень не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: нет корней.

г) $\log_{0,4}(2x^3 + x^2 - 5x - 7) = \log_{0,4}(x^3 - 2x^2 - 2x + 7)$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 2x^3 + x^2 - 5x - 7 = x^3 - 2x^2 - 2x + 7 \\ x^3 - 2x^2 - 2x + 7 > 0 \end{cases}$
Решим уравнение:
$2x^3 - x^3 + x^2 + 2x^2 - 5x + 2x - 7 - 7 = 0$
$x^3 + 3x^2 - 3x - 14 = 0$
Найдем целые корни среди делителей числа 14: $\pm1, \pm2, \pm7, \pm14$.
Подставим $x = 2$: $2^3 + 3(2)^2 - 3(2) - 14 = 8 + 12 - 6 - 14 = 20 - 20 = 0$.
$x = 2$ является корнем. Разделим многочлен $x^3 + 3x^2 - 3x - 14$ на $(x-2)$ и получим $x^2 + 5x + 7$.
Уравнение примет вид $(x-2)(x^2 + 5x + 7) = 0$.
Дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + 5x + 7$ равен $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3 < 0$, действительных корней он не имеет.
Единственный потенциальный корень: $x = 2$.
Проверим его по условию ОДЗ: $x^3 - 2x^2 - 2x + 7 > 0$.
При $x = 2$: $2^3 - 2(2)^2 - 2(2) + 7 = 8 - 8 - 4 + 7 = 3$.
Так как $3 > 0$, корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $2$.