Номер 17.18, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.18, страница 107.

17.18. а) $log_{23} (2x - 1) - log_{23} x = 0;$

б) $log_{0,5} (4x - 1) - log_{0,5} (7x - 3) = 1;$

в) $log_{3,4} (x^2 - 5x + 8) - log_{3,4} x = 0;$

г) $log_{\frac{1}{2}} (x + 9) - log_{\frac{1}{2}} (8 - 3x) = 2.$

а) Исходное уравнение: $ \log_{23}(2x - 1) - \log_{23}x = 0 $.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ x > 0 \end{cases} $
Из первого неравенства получаем $ 2x > 1 $, то есть $ x > \frac{1}{2} $. Совмещая с условием $ x > 0 $, получаем ОДЗ: $ x > \frac{1}{2} $.
Теперь решим уравнение. Перенесем второй логарифм в правую часть:
$ \log_{23}(2x - 1) = \log_{23}x $
Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:
$ 2x - 1 = x $
$ 2x - x = 1 $
$ x = 1 $
Проверим, входит ли найденный корень в ОДЗ. Так как $ 1 > \frac{1}{2} $, корень подходит.
Ответ: $ 1 $.

б) Исходное уравнение: $ \log_{0.5}(4x - 1) - \log_{0.5}(7x - 3) = 1 $.
Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} 4x - 1 > 0 \\ 7x - 3 > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > \frac{1}{4} \\ x > \frac{3}{7} \end{cases} $
Так как $ \frac{3}{7} > \frac{1}{4} $ (поскольку $ 12 > 7 $), ОДЗ: $ x > \frac{3}{7} $.
Используем свойство разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $:
$ \log_{0.5}\left(\frac{4x - 1}{7x - 3}\right) = 1 $
По определению логарифма:
$ \frac{4x - 1}{7x - 3} = 0.5^1 $
$ \frac{4x - 1}{7x - 3} = \frac{1}{2} $
Используя свойство пропорции, получаем:
$ 2(4x - 1) = 1(7x - 3) $
$ 8x - 2 = 7x - 3 $
$ 8x - 7x = -3 + 2 $
$ x = -1 $
Проверим корень на соответствие ОДЗ ($ x > \frac{3}{7} $). Так как $ -1 < \frac{3}{7} $, корень не является решением уравнения.
Ответ: нет решений.

в) Исходное уравнение: $ \log_{3.4}(x^2 - 5x + 8) - \log_{3.4}x = 0 $.
Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x^2 - 5x + 8 > 0 \\ x > 0 \end{cases} $
Рассмотрим квадратный трехчлен $ x^2 - 5x + 8 $. Его дискриминант $ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7 $. Так как дискриминант отрицательный, а коэффициент при $ x^2 $ положительный ($ 1 > 0 $), парабола $ y = x^2 - 5x + 8 $ полностью лежит выше оси абсцисс, то есть $ x^2 - 5x + 8 > 0 $ для любого $ x $.
Следовательно, ОДЗ определяется только вторым условием: $ x > 0 $.
Решим уравнение:
$ \log_{3.4}(x^2 - 5x + 8) = \log_{3.4}x $
Приравниваем аргументы:
$ x^2 - 5x + 8 = x $
$ x^2 - 6x + 8 = 0 $
По теореме Виета находим корни: $ x_1 = 2 $, $ x_2 = 4 $.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ 2 > 0 $ и $ 4 > 0 $).
Ответ: $ 2; 4 $.

г) Исходное уравнение: $ \log_{\frac{1}{2}}(x + 9) - \log_{\frac{1}{2}}(8 - 3x) = 2 $.
Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x + 9 > 0 \\ 8 - 3x > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > -9 \\ -3x > -8 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > -9 \\ x < \frac{8}{3} \end{cases} $
ОДЗ: $ -9 < x < \frac{8}{3} $.
Используем свойство разности логарифмов:
$ \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x + 9}{8 - 3x}\right) = 2 $
По определению логарифма:
$ \frac{x + 9}{8 - 3x} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 $
$ \frac{x + 9}{8 - 3x} = \frac{1}{4} $
Используя свойство пропорции:
$ 4(x + 9) = 1(8 - 3x) $
$ 4x + 36 = 8 - 3x $
$ 4x + 3x = 8 - 36 $
$ 7x = -28 $
$ x = -4 $
Проверим корень на соответствие ОДЗ ($ -9 < x < \frac{8}{3} $). Так как $ -9 < -4 < 2\frac{2}{3} $, корень подходит.
Ответ: $ -4 $.