Номер 17.25, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.25, страница 108.

Решите уравнение:

17.25. a) $\lg 100x \cdot \lg x = -1;$

б) $\lg^2 10x + \lg 10x = 6 - 3 \lg \frac{1}{x};$

в) $2 \lg x^2 - \lg^2 (-x) = 4;$

г) $\lg^2 x^3 + \lg x^2 = 40.$

а) $lg(100x) \cdot lg(x) = -1$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Используем свойство логарифма произведения $log_a(bc) = log_a(b) + log_a(c)$:
$lg(100x) = lg(100) + lg(x) = 2 + lg(x)$
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$(2 + lg(x)) \cdot lg(x) = -1$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = lg(x)$:
$(2 + t) \cdot t = -1$
$t^2 + 2t = -1$
$t^2 + 2t + 1 = 0$
Это полный квадрат: $(t + 1)^2 = 0$
Отсюда $t = -1$.
Вернемся к исходной переменной:
$lg(x) = -1$
$x = 10^{-1} = 0.1$
Корень $x = 0.1$ удовлетворяет ОДЗ ($0.1 > 0$).
Ответ: $0.1$.

б) $lg^2(10x) + lg(10x) = 6 - 3lg\frac{1}{x}$
ОДЗ: $10x > 0$ и $\frac{1}{x} > 0$, что равносильно $x > 0$.
Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:
$lg(10x) = lg(10) + lg(x) = 1 + lg(x)$
$lg\frac{1}{x} = lg(x^{-1}) = -lg(x)$
Подставим преобразованные выражения в уравнение:
$(1 + lg(x))^2 + (1 + lg(x)) = 6 - 3(-lg(x))$
$(1 + lg(x))^2 + 1 + lg(x) = 6 + 3lg(x)$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = lg(x)$:
$(1 + t)^2 + 1 + t = 6 + 3t$
$1 + 2t + t^2 + 1 + t = 6 + 3t$
$t^2 + 3t + 2 = 6 + 3t$
$t^2 = 4$
Отсюда $t_1 = 2$ и $t_2 = -2$.
Выполним обратную замену:
1) $lg(x) = 2 \Rightarrow x_1 = 10^2 = 100$.
2) $lg(x) = -2 \Rightarrow x_2 = 10^{-2} = 0.01$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $100; 0.01$.

в) $2lg(x^2) - lg^2(-x) = 4$
ОДЗ: $x^2 > 0$ и $-x > 0$.
Из $x^2 > 0$ следует $x \neq 0$.
Из $-x > 0$ следует $x < 0$.
Следовательно, ОДЗ: $x < 0$.
Используем свойство логарифма степени $log_a(b^p) = p \cdot log_a|b|$.
$lg(x^2) = 2lg|x|$. Поскольку по ОДЗ $x < 0$, то $|x| = -x$.
Значит, $lg(x^2) = 2lg(-x)$.
Подставим в уравнение:
$2 \cdot (2lg(-x)) - lg^2(-x) = 4$
$4lg(-x) - lg^2(-x) = 4$
Сделаем замену. Пусть $t = lg(-x)$:
$4t - t^2 = 4$
$t^2 - 4t + 4 = 0$
$(t - 2)^2 = 0$
$t = 2$.
Вернемся к замене:
$lg(-x) = 2$
$-x = 10^2 = 100$
$x = -100$.
Корень $x = -100$ удовлетворяет ОДЗ ($x < 0$).
Ответ: $-100$.

г) $lg^2(x^3) + lg(x^2) = 40$
ОДЗ: $x^3 > 0$ и $x^2 > 0$.
Из $x^3 > 0$ следует $x > 0$.
Из $x^2 > 0$ следует $x \neq 0$.
Следовательно, ОДЗ: $x > 0$.
Так как $x > 0$, мы можем упростить логарифмы:
$lg^2(x^3) = (lg(x^3))^2 = (3lg(x))^2 = 9lg^2(x)$
$lg(x^2) = 2lg(x)$
Подставим в уравнение:
$9lg^2(x) + 2lg(x) = 40$
$9lg^2(x) + 2lg(x) - 40 = 0$
Сделаем замену. Пусть $t = lg(x)$:
$9t^2 + 2t - 40 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = 2^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-40) = 4 + 1440 = 1444 = 38^2$
$t_1 = \frac{-2 - 38}{2 \cdot 9} = \frac{-40}{18} = -\frac{20}{9}$
$t_2 = \frac{-2 + 38}{2 \cdot 9} = \frac{36}{18} = 2$
Выполним обратную замену:
1) $lg(x) = 2 \Rightarrow x_1 = 10^2 = 100$.
2) $lg(x) = -\frac{20}{9} \Rightarrow x_2 = 10^{-20/9}$.
Оба корня положительны и удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $100; 10^{-20/9}$.