Номер 17.29, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.29, страница 108.

17.29. a) $\log_3 x + 1 = 2 \log_x 3;$

б) $2 \log_x 5 - 3 = -\log_5 x;$

в) $\log_7 x - 1 = 6 \log_x 7;$

г) $\log_2 x + 9 \log_x 2 = 10.$

а) Исходное уравнение: $\log_3 x + 1 = 2 \log_x 3$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условиями: аргумент логарифма должен быть больше нуля ($x > 0$), а основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице ($x > 0, x \neq 1$). Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.
Для решения уравнения приведем все логарифмы к одному основанию, используя формулу перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.
В нашем случае, $\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\log_3 x + 1 = 2 \cdot \frac{1}{\log_3 x}$.
Введем замену переменной. Пусть $y = \log_3 x$. Уравнение примет вид:
$y + 1 = \frac{2}{y}$.
Домножим обе части уравнения на $y$, при условии, что $y \neq 0$ (что соответствует $x \neq 1$ из ОДЗ):
$y(y + 1) = 2$
$y^2 + y - 2 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета: $y_1 \cdot y_2 = -2$, $y_1 + y_2 = -1$. Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.
Теперь выполним обратную замену:
1) Если $y = 1$, то $\log_3 x = 1$, откуда $x = 3^1 = 3$.
2) Если $y = -2$, то $\log_3 x = -2$, откуда $x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.
Оба полученных значения $x = 3$ и $x = \frac{1}{9}$ удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $3; \frac{1}{9}$.

б) Исходное уравнение: $2 \log_x 5 - 3 = -\log_5 x$.
ОДЗ: $x > 0, x \neq 1$.
Приведем логарифмы к основанию 5, используя формулу $\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}$:
$2 \cdot \frac{1}{\log_5 x} - 3 = -\log_5 x$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_5 x$. Тогда уравнение примет вид:
$\frac{2}{y} - 3 = -y$.
Перенесем все члены в левую часть и домножим на $y$ ($y \neq 0$):
$y^2 - 3y + 2 = 0$.
Корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = 2$.
Выполним обратную замену:
1) Если $y = 1$, то $\log_5 x = 1$, откуда $x = 5^1 = 5$.
2) Если $y = 2$, то $\log_5 x = 2$, откуда $x = 5^2 = 25$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $5; 25$.

в) Исходное уравнение: $\log_7 x - 1 = 6 \log_x 7$.
ОДЗ: $x > 0, x \neq 1$.
Приведем логарифмы к основанию 7, используя формулу $\log_x 7 = \frac{1}{\log_7 x}$:
$\log_7 x - 1 = 6 \cdot \frac{1}{\log_7 x}$.
Пусть $y = \log_7 x$. Уравнение примет вид:
$y - 1 = \frac{6}{y}$.
Домножим обе части на $y$ ($y \neq 0$):
$y^2 - y = 6$
$y^2 - y - 6 = 0$.
Корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.
Выполним обратную замену:
1) Если $y = 3$, то $\log_7 x = 3$, откуда $x = 7^3 = 343$.
2) Если $y = -2$, то $\log_7 x = -2$, откуда $x = 7^{-2} = \frac{1}{49}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $343; \frac{1}{49}$.

г) Исходное уравнение: $\log_2 x + 9 \log_x 2 = 10$.
ОДЗ: $x > 0, x \neq 1$.
Используем формулу $\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$ для приведения логарифмов к одному основанию:
$\log_2 x + 9 \cdot \frac{1}{\log_2 x} = 10$.
Пусть $y = \log_2 x$. Уравнение примет вид:
$y + \frac{9}{y} = 10$.
Домножим обе части на $y$ ($y \neq 0$):
$y^2 + 9 = 10y$
$y^2 - 10y + 9 = 0$.
Корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = 9$.
Выполним обратную замену:
1) Если $y = 1$, то $\log_2 x = 1$, откуда $x = 2^1 = 2$.
2) Если $y = 9$, то $\log_2 x = 9$, откуда $x = 2^9 = 512$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $2; 512$.