Номер 17.34, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.34, страница 109.

О17.34.

a) $x^{\lg x - 2} = 1000;$

Б) $x^{\log_{0,5} x - 2} = 0,125;$

В) $x^{5 + \log_2 x} = \frac{1}{16};$

Г) $x^{\log_{\frac{1}{3}} x - 4} = 27.$

a) $x^{\lg x - 2} = 1000$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 (десятичный логарифм, обозначается как $\lg$). Это целесообразно, так как в показателе степени содержится логарифм по основанию 10.
$\lg(x^{\lg x - 2}) = \lg(1000)$
Воспользуемся свойством логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$:
$(\lg x - 2) \cdot \lg x = \lg(10^3)$
Так как $\lg(10^3) = 3$, получаем:
$(\lg x - 2) \cdot \lg x = 3$
Введем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:
$(t - 2)t = 3$
$t^2 - 2t - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.
Выполним обратную замену:
1) Если $\lg x = 3$, то $x = 10^3 = 1000$.
2) Если $\lg x = -1$, то $x = 10^{-1} = 0,1$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: 1000; 0,1.

б) $x^{\log_{0,5} x - 2} = 0,125$

ОДЗ: $x > 0$.
Представим число 0,125 в виде степени с основанием 0,5: $0,125 = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3 = 0,5^3$.
Уравнение принимает вид:
$x^{\log_{0,5} x - 2} = 0,5^3$
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 0,5:
$\log_{0,5}(x^{\log_{0,5} x - 2}) = \log_{0,5}(0,5^3)$
Применяя свойство логарифма степени, получаем:
$(\log_{0,5} x - 2) \cdot \log_{0,5} x = 3$
Введем замену. Пусть $t = \log_{0,5} x$.
$(t - 2)t = 3$
$t^2 - 2t - 3 = 0$
Корни этого квадратного уравнения, как и в предыдущем пункте, $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.
Выполним обратную замену:
1) Если $\log_{0,5} x = 3$, то $x = 0,5^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} = 0,125$.
2) Если $\log_{0,5} x = -1$, то $x = 0,5^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 0,125; 2.

в) $x^{5 + \log_2 x} = \frac{1}{16}$

ОДЗ: $x > 0$.
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 2: $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$.
Уравнение принимает вид:
$x^{5 + \log_2 x} = 2^{-4}$
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:
$\log_2(x^{5 + \log_2 x}) = \log_2(2^{-4})$
$(5 + \log_2 x) \cdot \log_2 x = -4$
Введем замену. Пусть $t = \log_2 x$.
$(5 + t)t = -4$
$t^2 + 5t + 4 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -5$ и $t_1 \cdot t_2 = 4$. Корни: $t_1 = -1$ и $t_2 = -4$.
Выполним обратную замену:
1) Если $\log_2 x = -1$, то $x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
2) Если $\log_2 x = -4$, то $x = 2^{-4} = \frac{1}{16}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{16}$.

г) $x^{\log_{\frac{1}{3}} x - 4} = 27$

ОДЗ: $x > 0$.
Представим число 27 в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$: $27 = 3^3 = (\frac{1}{3})^{-3}$.
Уравнение принимает вид:
$x^{\log_{\frac{1}{3}} x - 4} = (\frac{1}{3})^{-3}$
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию $\frac{1}{3}$:
$\log_{\frac{1}{3}}(x^{\log_{\frac{1}{3}} x - 4}) = \log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-3})$
$(\log_{\frac{1}{3}} x - 4) \cdot \log_{\frac{1}{3}} x = -3$
Введем замену. Пусть $t = \log_{\frac{1}{3}} x$.
$(t - 4)t = -3$
$t^2 - 4t + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 4$ и $t_1 \cdot t_2 = 3$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.
Выполним обратную замену:
1) Если $\log_{\frac{1}{3}} x = 1$, то $x = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$.
2) Если $\log_{\frac{1}{3}} x = 3$, то $x = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{27}$.