Номер 17.40, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.40, страница 109.

Решите систему уравнений:

17.40. a) $\begin{cases} \log_2 (x^2 + 3x - 2) - \log_2 y = 1, \\ 3x - y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x + y = 7, \\ \log_3 (x^2 + 4x - 3) - \log_3 y = 1. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \log_2(x^2 + 3x - 2) - \log_2 y = 1, \\ 3x - y = 2; \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными: $ \begin{cases} x^2 + 3x - 2 > 0, \\ y > 0. \end{cases} $

Из второго уравнения системы выразим y через x: $y = 3x - 2$.

Подставим это выражение в неравенство $y > 0$: $3x - 2 > 0 \implies 3x > 2 \implies x > \frac{2}{3}$.

Теперь подставим выражение для y в первое уравнение системы: $\log_2(x^2 + 3x - 2) - \log_2(3x - 2) = 1$.

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$: $\log_2\left(\frac{x^2 + 3x - 2}{3x - 2}\right) = 1$.

По определению логарифма: $\frac{x^2 + 3x - 2}{3x - 2} = 2^1 = 2$.

Решим полученное уравнение: $x^2 + 3x - 2 = 2(3x - 2)$
$x^2 + 3x - 2 = 6x - 4$
$x^2 - 3x + 2 = 0$.

Это квадратное уравнение. Его корни по теореме Виета: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ.

1. Для $x_1 = 1$:
Проверяем условие $x > \frac{2}{3}$: $1 > \frac{2}{3}$ (верно).
Проверяем условие $x^2 + 3x - 2 > 0$: $1^2 + 3(1) - 2 = 1 + 3 - 2 = 2 > 0$ (верно).
Корень $x_1 = 1$ подходит. Найдем соответствующее значение y: $y_1 = 3x_1 - 2 = 3(1) - 2 = 1$.
Таким образом, первое решение системы: $(1, 1)$.

2. Для $x_2 = 2$:
Проверяем условие $x > \frac{2}{3}$: $2 > \frac{2}{3}$ (верно).
Проверяем условие $x^2 + 3x - 2 > 0$: $2^2 + 3(2) - 2 = 4 + 6 - 2 = 8 > 0$ (верно).
Корень $x_2 = 2$ подходит. Найдем соответствующее значение y: $y_2 = 3x_2 - 2 = 3(2) - 2 = 4$.
Таким образом, второе решение системы: $(2, 4)$.

Ответ: $(1, 1), (2, 4)$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x + y = 7, \\ \log_3(x^2 + 4x - 3) - \log_3 y = 1. \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $ \begin{cases} x^2 + 4x - 3 > 0, \\ y > 0. \end{cases} $

Из первого уравнения системы выразим y через x: $y = 7 - 2x$.

Подставим это выражение в неравенство $y > 0$: $7 - 2x > 0 \implies 7 > 2x \implies x < \frac{7}{2}$.

Теперь подставим выражение для y во второе уравнение системы: $\log_3(x^2 + 4x - 3) - \log_3(7 - 2x) = 1$.

Используем свойство разности логарифмов: $\log_3\left(\frac{x^2 + 4x - 3}{7 - 2x}\right) = 1$.

По определению логарифма: $\frac{x^2 + 4x - 3}{7 - 2x} = 3^1 = 3$.

Решим полученное уравнение: $x^2 + 4x - 3 = 3(7 - 2x)$
$x^2 + 4x - 3 = 21 - 6x$
$x^2 + 10x - 24 = 0$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4(1)(-24) = 100 + 96 = 196 = 14^2$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm 14}{2}$.
$x_1 = \frac{-10 + 14}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-10 - 14}{2} = \frac{-24}{2} = -12$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ.

1. Для $x_1 = 2$:
Проверяем условие $x < \frac{7}{2}$: $2 < 3.5$ (верно).
Проверяем условие $x^2 + 4x - 3 > 0$: $2^2 + 4(2) - 3 = 4 + 8 - 3 = 9 > 0$ (верно).
Корень $x_1 = 2$ подходит. Найдем соответствующее значение y: $y_1 = 7 - 2x_1 = 7 - 2(2) = 3$.
Таким образом, первое решение системы: $(2, 3)$.

2. Для $x_2 = -12$:
Проверяем условие $x < \frac{7}{2}$: $-12 < 3.5$ (верно).
Проверяем условие $x^2 + 4x - 3 > 0$: $(-12)^2 + 4(-12) - 3 = 144 - 48 - 3 = 93 > 0$ (верно).
Корень $x_2 = -12$ подходит. Найдем соответствующее значение y: $y_2 = 7 - 2x_2 = 7 - 2(-12) = 7 + 24 = 31$.
Таким образом, второе решение системы: $(-12, 31)$.

Ответ: $(2, 3), (-12, 31)$.