Номер 17.35, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.35, страница 109.

17.35. a) $10x^{\lg x} + x^{-\lg x} = 11;$

б) $x^{\log_2 x} + 32x^{-\log_2 x} = 3^2 + \log_3 2.$

а) $10x^{\lg x} + x^{-\lg x} = 11$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент десятичного логарифма должен быть строго больше нуля, поэтому $x > 0$.

2. Преобразуем уравнение. Используем свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, чтобы переписать член $x^{-\lg x}$ как $\frac{1}{x^{\lg x}}$.
Введем замену переменной. Пусть $y = x^{\lg x}$. Так как $x > 0$, то и $y > 0$.

После замены исходное уравнение принимает вид:
$10y + \frac{1}{y} = 11$

3. Решим полученное уравнение относительно $y$. Умножим обе части уравнения на $y$ (это возможно, так как $y \neq 0$):
$10y^2 + 1 = 11y$
$10y^2 - 11y + 1 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение. Найдем его корни, например, через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 1 = 121 - 40 = 81 = 9^2$
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 9}{2 \cdot 10} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 9}{2 \cdot 10} = \frac{20}{20} = 1$

4. Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных значений $y$.

Случай 1: $y = 1$.
$x^{\lg x} = 1$
Прологарифмируем обе части этого уравнения по основанию 10:
$\lg(x^{\lg x}) = \lg(1)$
Используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$, получаем:
$(\lg x) \cdot (\lg x) = 0$
$(\lg x)^2 = 0$
$\lg x = 0$
$x = 10^0 = 1$

Случай 2: $y = \frac{1}{10}$.
$x^{\lg x} = \frac{1}{10}$
Снова логарифмируем обе части по основанию 10:
$\lg(x^{\lg x}) = \lg(\frac{1}{10})$
$(\lg x)^2 = \lg(10^{-1})$
$(\lg x)^2 = -1$
Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

5. Таким образом, единственным решением является $x=1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $1$.

б) $x^{\log_2 x} + 32x^{-\log_2 x} = 3^{2+\log_3 2}$

1. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x > 0$, так как $x$ является аргументом логарифма.

2. Сначала упростим правую часть уравнения, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$3^{2+\log_3 2} = 3^2 \cdot 3^{\log_3 2} = 9 \cdot 2 = 18$

3. Теперь уравнение выглядит так:
$x^{\log_2 x} + 32x^{-\log_2 x} = 18$
Введем замену переменной. Пусть $y = x^{\log_2 x}$. Тогда $x^{-\log_2 x} = \frac{1}{x^{\log_2 x}} = \frac{1}{y}$. Условие $x>0$ гарантирует, что $y>0$.
Подставляем в уравнение:
$y + \frac{32}{y} = 18$

4. Решим это уравнение. Умножим обе части на $y \neq 0$:
$y^2 + 32 = 18y$
$y^2 - 18y + 32 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета. Ищем два числа, сумма которых равна 18, а произведение 32. Это числа 2 и 16.
$y_1 = 2$, $y_2 = 16$.

5. Выполним обратную замену для каждого значения $y$.

Случай 1: $y = 2$.
$x^{\log_2 x} = 2$
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:
$\log_2(x^{\log_2 x}) = \log_2(2)$
$(\log_2 x) \cdot (\log_2 x) = 1$
$(\log_2 x)^2 = 1$
Это уравнение распадается на два:
$\log_2 x = 1 \implies x = 2^1 = 2$
$\log_2 x = -1 \implies x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Случай 2: $y = 16$.
$x^{\log_2 x} = 16$
Прологарифмируем обе части по основанию 2:
$\log_2(x^{\log_2 x}) = \log_2(16)$
$(\log_2 x)^2 = \log_2(2^4)$
$(\log_2 x)^2 = 4$
Это уравнение также распадается на два:
$\log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4$
$\log_2 x = -2 \implies x = 2^{-2} = \frac{1}{4}$

6. Мы получили четыре корня: $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 2, 4$. Все они положительные, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 2, 4$.