Номер 17.30, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.30, страница 108.

17.30. a) $\log_x 2 \cdot \log_{2x} 2 = \log_{4x} 2$;

б) $\log_4(x + 2) \cdot \log_x 2 = 1$.

а)

Исходное уравнение: $\log_x 2 \cdot \log_{2x} 2 = \log_{4x} 2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма должно быть положительным и не равняться единице.

$\begin{cases} x > 0, x \ne 1 \\ 2x > 0, 2x \ne 1 \\ 4x > 0, 4x \ne 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0, x \ne 1 \\ x > 0, x \ne 1/2 \\ x > 0, x \ne 1/4 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 1/4) \cup (1/4; 1/2) \cup (1/2; 1) \cup (1; +\infty)$.

Для решения уравнения воспользуемся формулой замены основания логарифма $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ и приведем все логарифмы к основанию 2:

$\frac{1}{\log_2 x} \cdot \frac{1}{\log_2 (2x)} = \frac{1}{\log_2 (4x)}$

Используем свойство логарифма произведения $\log_b(mn) = \log_b m + \log_b n$:

$\frac{1}{\log_2 x \cdot (\log_2 2 + \log_2 x)} = \frac{1}{\log_2 4 + \log_2 x}$

Поскольку $\log_2 2 = 1$ и $\log_2 4 = 2$, уравнение принимает вид:

$\frac{1}{\log_2 x \cdot (1 + \log_2 x)} = \frac{1}{2 + \log_2 x}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. При этом из ОДЗ следует, что $t \ne 0$ (т.к. $x \ne 1$), $t \ne -1$ (т.к. $x \ne 1/2$) и $t \ne -2$ (т.к. $x \ne 1/4$).

$\frac{1}{t(1+t)} = \frac{1}{2+t}$

Приравниваем знаменатели:

$t(1+t) = 2+t$

$t + t^2 = 2 + t$

$t^2 = 2$

Отсюда получаем два значения для $t$: $t_1 = \sqrt{2}$ и $t_2 = -\sqrt{2}$.

Выполним обратную замену:

1) $\log_2 x = \sqrt{2} \implies x_1 = 2^{\sqrt{2}}$

2) $\log_2 x = -\sqrt{2} \implies x_2 = 2^{-\sqrt{2}}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2^{\sqrt{2}}$; $2^{-\sqrt{2}}$.

б)

Исходное уравнение: $\log_4 (x+2) \cdot \log_x 2 = 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x+2 > 0 \\ x > 0 \\ x \ne 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ x > 0 \\ x \ne 1 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

Приведем логарифмы к одному основанию, например, к 2, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ и свойство $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$:

$\log_4 (x+2) = \frac{\log_2(x+2)}{\log_2 4} = \frac{\log_2(x+2)}{2}$

$\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$\frac{\log_2(x+2)}{2} \cdot \frac{1}{\log_2 x} = 1$

Умножим обе части на $2\log_2 x$ (это возможно, т.к. из ОДЗ $x \ne 1$, значит $\log_2 x \ne 0$):

$\log_2(x+2) = 2\log_2 x$

Применим свойство степени логарифма $n \log_b a = \log_b a^n$:

$\log_2(x+2) = \log_2(x^2)$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$x+2 = x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0, x \ne 1$).

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-1 < 0$. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: 2.