Номер 17.37, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.37, страница 109.

17.37. a) $\log_5 (6 - 5^x) = 1 - x;$

б) $\log_3 (4 \cdot 3^x - 1) = 2x - 1.$

а) $ \log_{5}(6 - 5^x) = 1 - x $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$ 6 - 5^x > 0 $

$ 6 > 5^x $

Логарифмируя обе части по основанию 5, получаем:

$ \log_5{6} > \log_5{5^x} $

$ x < \log_5{6} $

Теперь решим само уравнение. Используем определение логарифма: $ \log_a{b} = c \Leftrightarrow b = a^c $.

$ 6 - 5^x = 5^{1-x} $

Используя свойство степеней $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $, преобразуем правую часть:

$ 6 - 5^x = \frac{5^1}{5^x} $

Введем замену переменной. Пусть $ t = 5^x $. Поскольку $ 5^x > 0 $ для любого $ x $, то $ t > 0 $.

$ 6 - t = \frac{5}{t} $

Умножим обе части уравнения на $ t $ (это возможно, так как $ t \neq 0 $):

$ t(6 - t) = 5 $

$ 6t - t^2 = 5 $

$ t^2 - 6t + 5 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни:

$ t_1 = 1 $, $ t_2 = 5 $.

Оба корня удовлетворяют условию $ t > 0 $. Вернемся к исходной переменной $ x $.

1) Если $ t = 1 $, то $ 5^x = 1 $, откуда $ x_1 = 0 $.

2) Если $ t = 5 $, то $ 5^x = 5 $, откуда $ x_2 = 1 $.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ $ x < \log_5{6} $.

Для $ x_1 = 0 $: $ 0 < \log_5{6} $. Это верно, так как $ \log_5{6} > \log_5{5} = 1 $.

Для $ x_2 = 1 $: $ 1 < \log_5{6} $. Это верно, так как $ 5^1 < 6 $.

Оба корня подходят.

Ответ: $ 0; 1 $.

б) $ \log_3(4 \cdot 3^{x-1} - 1) = 2x - 1 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ 4 \cdot 3^{x-1} - 1 > 0 $

$ 4 \cdot \frac{3^x}{3} > 1 $

$ \frac{4}{3} \cdot 3^x > 1 $

$ 3^x > \frac{3}{4} $

Логарифмируя по основанию 3, получаем:

$ x > \log_3{\frac{3}{4}} $.

Решим уравнение, используя определение логарифма:

$ 4 \cdot 3^{x-1} - 1 = 3^{2x-1} $

Преобразуем степени:

$ 4 \cdot \frac{3^x}{3} - 1 = \frac{3^{2x}}{3} $

$ \frac{4}{3} \cdot 3^x - 1 = \frac{(3^x)^2}{3} $

Введем замену переменной. Пусть $ t = 3^x $, где $ t > 0 $.

$ \frac{4}{3}t - 1 = \frac{t^2}{3} $

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателей:

$ 4t - 3 = t^2 $

$ t^2 - 4t + 3 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни:

$ t_1 = 1 $, $ t_2 = 3 $.

Оба корня удовлетворяют условию $ t > 0 $. Выполним обратную замену.

1) Если $ t = 1 $, то $ 3^x = 1 $, откуда $ x_1 = 0 $.

2) Если $ t = 3 $, то $ 3^x = 3 $, откуда $ x_2 = 1 $.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ $ x > \log_3{\frac{3}{4}} $. Так как основание логарифма $ 3 > 1 $, а аргумент $ \frac{3}{4} < 1 $, то $ \log_3{\frac{3}{4}} < 0 $.

Для $ x_1 = 0 $: $ 0 > \log_3{\frac{3}{4}} $. Это верно, так как 0 больше любого отрицательного числа.

Для $ x_2 = 1 $: $ 1 > \log_3{\frac{3}{4}} $. Это также верно.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $ 0; 1 $.