Номер 17.33, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.33, страница 109.

Решите уравнение:

17.33. a) $x^{\log_3 x} = 81;$

б) $x^{\log_{0.5} x} = \frac{1}{16};$

В) $x^{\log_2 x} = 16;$

Г) $x^{\log_{\frac{1}{3}} x} = \frac{1}{81}.$

а) Дано уравнение $x^{\log_3 x} = 81$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования логарифма: $x > 0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:
$\log_3(x^{\log_3 x}) = \log_3(81)$
Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$, получим:
$(\log_3 x) \cdot (\log_3 x) = \log_3(81)$
$(\log_3 x)^2 = \log_3(3^4)$
$(\log_3 x)^2 = 4$
Из этого следует, что $\log_3 x$ может быть равен 2 или -2.
1. $\log_3 x = 2 \implies x = 3^2 = 9$.
2. $\log_3 x = -2 \implies x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.
Оба корня $x=9$ и $x=\frac{1}{9}$ положительны, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $9; \frac{1}{9}$.

б) Дано уравнение $x^{\log_{0,5} x} = \frac{1}{16}$.
ОДЗ: $x > 0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 0,5:
$\log_{0,5}(x^{\log_{0,5} x}) = \log_{0,5}(\frac{1}{16})$
$(\log_{0,5} x) \cdot (\log_{0,5} x) = \log_{0,5}(\frac{1}{16})$
$(\log_{0,5} x)^2 = \log_{0,5}((\frac{1}{2})^4) = \log_{0,5}(0,5^4)$
$(\log_{0,5} x)^2 = 4$
Отсюда $\log_{0,5} x = 2$ или $\log_{0,5} x = -2$.
1. $\log_{0,5} x = 2 \implies x = (0,5)^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
2. $\log_{0,5} x = -2 \implies x = (0,5)^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.
Оба корня $x=\frac{1}{4}$ и $x=4$ положительны и удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $4; \frac{1}{4}$.

в) Дано уравнение $x^{\log_2 x} = 16$.
ОДЗ: $x > 0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:
$\log_2(x^{\log_2 x}) = \log_2(16)$
$(\log_2 x) \cdot (\log_2 x) = \log_2(16)$
$(\log_2 x)^2 = \log_2(2^4)$
$(\log_2 x)^2 = 4$
Отсюда $\log_2 x = 2$ или $\log_2 x = -2$.
1. $\log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4$.
2. $\log_2 x = -2 \implies x = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.
Оба корня $x=4$ и $x=\frac{1}{4}$ удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $4; \frac{1}{4}$.

г) Дано уравнение $x^{\log_{1/3} x} = \frac{1}{81}$.
ОДЗ: $x > 0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию $\frac{1}{3}$:
$\log_{1/3}(x^{\log_{1/3} x}) = \log_{1/3}(\frac{1}{81})$
$(\log_{1/3} x) \cdot (\log_{1/3} x) = \log_{1/3}(\frac{1}{81})$
$(\log_{1/3} x)^2 = \log_{1/3}((\frac{1}{3})^4)$
$(\log_{1/3} x)^2 = 4$
Отсюда $\log_{1/3} x = 2$ или $\log_{1/3} x = -2$.
1. $\log_{1/3} x = 2 \implies x = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.
2. $\log_{1/3} x = -2 \implies x = (\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9$.
Оба корня $x=\frac{1}{9}$ и $x=9$ удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $9; \frac{1}{9}$.