Номер 17.28, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.28, страница 108.

○17.28.

a) $\log_4 x + \log_{16} x + \log_2 x = 7;$

б) $\log_3 x + \log_{\sqrt{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} x = 6.$

a)

Дано уравнение: $\log_4 x + \log_{16} x + \log_2 x = 7$.
Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, следовательно, $x > 0$.
Для решения уравнения приведем все логарифмы к одному основанию. Наиболее удобным является основание 2, так как $4 = 2^2$ и $16 = 2^4$.
Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:
$\log_4 x = \log_{2^2} x = \frac{1}{2} \log_2 x$
$\log_{16} x = \log_{2^4} x = \frac{1}{4} \log_2 x$
Теперь подставим эти выражения обратно в исходное уравнение:
$\frac{1}{2} \log_2 x + \frac{1}{4} \log_2 x + \log_2 x = 7$
Вынесем общий множитель $\log_2 x$ за скобки:
$\log_2 x \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + 1) = 7$
Найдем значение выражения в скобках:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + 1 = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = \frac{7}{4}$
Уравнение принимает вид:
$\frac{7}{4} \log_2 x = 7$
Чтобы найти $\log_2 x$, умножим обе части уравнения на $\frac{4}{7}$:
$\log_2 x = 7 \cdot \frac{4}{7}$
$\log_2 x = 4$
По определению логарифма ($ \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b $), находим $x$:
$x = 2^4$
$x = 16$
Полученное значение $x=16$ удовлетворяет ОДЗ ($16 > 0$).

Ответ: 16

б)

Дано уравнение: $\log_3 x + \log_{\sqrt{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} x = 6$.
ОДЗ: $x > 0$.
Приведем все логарифмы к основанию 3. Для этого представим основания $\sqrt{3}$ и $\frac{1}{3}$ в виде степени числа 3:
$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$
$\frac{1}{3} = 3^{-1}$
Используем свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:
$\log_{\sqrt{3}} x = \log_{3^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} \log_3 x = 2 \log_3 x$
$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3^{-1}} x = \frac{1}{-1} \log_3 x = - \log_3 x$
Подставим преобразованные выражения в уравнение:
$\log_3 x + 2 \log_3 x - \log_3 x = 6$
Сложим коэффициенты при $\log_3 x$:
$(1 + 2 - 1) \log_3 x = 6$
$2 \log_3 x = 6$
Разделим обе части на 2:
$\log_3 x = 3$
По определению логарифма находим $x$:
$x = 3^3$
$x = 27$
Полученное значение $x=27$ удовлетворяет ОДЗ ($27 > 0$).

Ответ: 27