Страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

17.25. a) $\lg 100x \cdot \lg x = -1;$

б) $\lg^2 10x + \lg 10x = 6 - 3 \lg \frac{1}{x};$

в) $2 \lg x^2 - \lg^2 (-x) = 4;$

г) $\lg^2 x^3 + \lg x^2 = 40.$

а) $lg(100x) \cdot lg(x) = -1$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Используем свойство логарифма произведения $log_a(bc) = log_a(b) + log_a(c)$:
$lg(100x) = lg(100) + lg(x) = 2 + lg(x)$
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$(2 + lg(x)) \cdot lg(x) = -1$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = lg(x)$:
$(2 + t) \cdot t = -1$
$t^2 + 2t = -1$
$t^2 + 2t + 1 = 0$
Это полный квадрат: $(t + 1)^2 = 0$
Отсюда $t = -1$.
Вернемся к исходной переменной:
$lg(x) = -1$
$x = 10^{-1} = 0.1$
Корень $x = 0.1$ удовлетворяет ОДЗ ($0.1 > 0$).
Ответ: $0.1$.

б) $lg^2(10x) + lg(10x) = 6 - 3lg\frac{1}{x}$
ОДЗ: $10x > 0$ и $\frac{1}{x} > 0$, что равносильно $x > 0$.
Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:
$lg(10x) = lg(10) + lg(x) = 1 + lg(x)$
$lg\frac{1}{x} = lg(x^{-1}) = -lg(x)$
Подставим преобразованные выражения в уравнение:
$(1 + lg(x))^2 + (1 + lg(x)) = 6 - 3(-lg(x))$
$(1 + lg(x))^2 + 1 + lg(x) = 6 + 3lg(x)$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = lg(x)$:
$(1 + t)^2 + 1 + t = 6 + 3t$
$1 + 2t + t^2 + 1 + t = 6 + 3t$
$t^2 + 3t + 2 = 6 + 3t$
$t^2 = 4$
Отсюда $t_1 = 2$ и $t_2 = -2$.
Выполним обратную замену:
1) $lg(x) = 2 \Rightarrow x_1 = 10^2 = 100$.
2) $lg(x) = -2 \Rightarrow x_2 = 10^{-2} = 0.01$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $100; 0.01$.

в) $2lg(x^2) - lg^2(-x) = 4$
ОДЗ: $x^2 > 0$ и $-x > 0$.
Из $x^2 > 0$ следует $x \neq 0$.
Из $-x > 0$ следует $x < 0$.
Следовательно, ОДЗ: $x < 0$.
Используем свойство логарифма степени $log_a(b^p) = p \cdot log_a|b|$.
$lg(x^2) = 2lg|x|$. Поскольку по ОДЗ $x < 0$, то $|x| = -x$.
Значит, $lg(x^2) = 2lg(-x)$.
Подставим в уравнение:
$2 \cdot (2lg(-x)) - lg^2(-x) = 4$
$4lg(-x) - lg^2(-x) = 4$
Сделаем замену. Пусть $t = lg(-x)$:
$4t - t^2 = 4$
$t^2 - 4t + 4 = 0$
$(t - 2)^2 = 0$
$t = 2$.
Вернемся к замене:
$lg(-x) = 2$
$-x = 10^2 = 100$
$x = -100$.
Корень $x = -100$ удовлетворяет ОДЗ ($x < 0$).
Ответ: $-100$.

г) $lg^2(x^3) + lg(x^2) = 40$
ОДЗ: $x^3 > 0$ и $x^2 > 0$.
Из $x^3 > 0$ следует $x > 0$.
Из $x^2 > 0$ следует $x \neq 0$.
Следовательно, ОДЗ: $x > 0$.
Так как $x > 0$, мы можем упростить логарифмы:
$lg^2(x^3) = (lg(x^3))^2 = (3lg(x))^2 = 9lg^2(x)$
$lg(x^2) = 2lg(x)$
Подставим в уравнение:
$9lg^2(x) + 2lg(x) = 40$
$9lg^2(x) + 2lg(x) - 40 = 0$
Сделаем замену. Пусть $t = lg(x)$:
$9t^2 + 2t - 40 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = 2^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-40) = 4 + 1440 = 1444 = 38^2$
$t_1 = \frac{-2 - 38}{2 \cdot 9} = \frac{-40}{18} = -\frac{20}{9}$
$t_2 = \frac{-2 + 38}{2 \cdot 9} = \frac{36}{18} = 2$
Выполним обратную замену:
1) $lg(x) = 2 \Rightarrow x_1 = 10^2 = 100$.
2) $lg(x) = -\frac{20}{9} \Rightarrow x_2 = 10^{-20/9}$.
Оба корня положительны и удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $100; 10^{-20/9}$.

17.26. a) $\frac{\log_2 x + 5}{\log_2 x - 1} + 1 = 0;$

Б) $\frac{7 \log_3 x - 15}{5 \log_3 x + 3} + 1 = 0;$

В) $\frac{9 \log_{0.5} x + 14}{3 - 2 \log_{0.5} x} - 1 = 0;$

Г) $\frac{-19 \lg x + 20}{4 - 5 \lg x} - 4 = 0;$

Исходное уравнение: $\frac{\log_2 x + 5}{\log_2 x - 1} + 1 = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $x > 0$ (аргумент логарифма должен быть положительным) и $\log_2 x - 1 \neq 0$ (знаменатель не должен быть равен нулю).
Из второго условия получаем $\log_2 x \neq 1$, что означает $x \neq 2^1 = 2$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 2) \cup (2, +\infty)$.
Введем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид:
$\frac{t + 5}{t - 1} + 1 = 0$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{t + 5 + (t - 1)}{t - 1} = 0$
$\frac{2t + 4}{t - 1} = 0$
Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
$2t + 4 = 0 \Rightarrow 2t = -4 \Rightarrow t = -2$.
Проверим знаменатель при $t = -2$: $t - 1 = -2 - 1 = -3 \neq 0$. Условие выполняется.
Выполним обратную замену:
$\log_2 x = -2$
$x = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.
Полученное значение $x = \frac{1}{4}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

Исходное уравнение: $\frac{7 \log_3 x - 15}{5 \log_3 x + 3} + 1 = 0$.
ОДЗ: $x > 0$ и $5 \log_3 x + 3 \neq 0$.
Из второго условия: $5 \log_3 x \neq -3 \Rightarrow \log_3 x \neq -\frac{3}{5} \Rightarrow x \neq 3^{-3/5}$.
ОДЗ: $x \in (0, 3^{-3/5}) \cup (3^{-3/5}, +\infty)$.
Сделаем замену: пусть $t = \log_3 x$. Уравнение преобразуется к виду:
$\frac{7t - 15}{5t + 3} + 1 = 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{7t - 15 + (5t + 3)}{5t + 3} = 0$
$\frac{12t - 12}{5t + 3} = 0$
Числитель равен нулю: $12t - 12 = 0 \Rightarrow 12t = 12 \Rightarrow t = 1$.
Знаменатель при $t = 1$ не равен нулю: $5(1) + 3 = 8 \neq 0$.
Выполним обратную замену:
$\log_3 x = 1$
$x = 3^1 = 3$.
Значение $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = 3$.

Исходное уравнение: $\frac{9 \log_{0,5} x + 14}{3 - 2 \log_{0,5} x} - 1 = 0$.
ОДЗ: $x > 0$ и $3 - 2 \log_{0,5} x \neq 0$.
Из второго условия: $2 \log_{0,5} x \neq 3 \Rightarrow \log_{0,5} x \neq \frac{3}{2} \Rightarrow x \neq (0,5)^{3/2} = (\frac{1}{2})^{3/2} = \frac{1}{\sqrt{2^3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
ОДЗ: $x \in (0, \frac{1}{2\sqrt{2}}) \cup (\frac{1}{2\sqrt{2}}, +\infty)$.
Сделаем замену: пусть $t = \log_{0,5} x$. Уравнение примет вид:
$\frac{9t + 14}{3 - 2t} - 1 = 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{9t + 14 - (3 - 2t)}{3 - 2t} = 0$
$\frac{9t + 14 - 3 + 2t}{3 - 2t} = 0$
$\frac{11t + 11}{3 - 2t} = 0$
Числитель равен нулю: $11t + 11 = 0 \Rightarrow 11t = -11 \Rightarrow t = -1$.
Знаменатель при $t = -1$ не равен нулю: $3 - 2(-1) = 3 + 2 = 5 \neq 0$.
Выполним обратную замену:
$\log_{0,5} x = -1$
$x = (0,5)^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$.
Значение $x = 2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = 2$.

Исходное уравнение: $\frac{-19 \lg x + 20}{4 - 5 \lg x} - 4 = 0$. Напомним, что $\lg x = \log_{10} x$.
ОДЗ: $x > 0$ и $4 - 5 \lg x \neq 0$.
Из второго условия: $5 \lg x \neq 4 \Rightarrow \lg x \neq \frac{4}{5} \Rightarrow x \neq 10^{4/5}$.
ОДЗ: $x \in (0, 10^{4/5}) \cup (10^{4/5}, +\infty)$.
Сделаем замену: пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид:
$\frac{-19t + 20}{4 - 5t} - 4 = 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{-19t + 20 - 4(4 - 5t)}{4 - 5t} = 0$
$\frac{-19t + 20 - 16 + 20t}{4 - 5t} = 0$
$\frac{t + 4}{4 - 5t} = 0$
Числитель равен нулю: $t + 4 = 0 \Rightarrow t = -4$.
Знаменатель при $t = -4$ не равен нулю: $4 - 5(-4) = 4 + 20 = 24 \neq 0$.
Выполним обратную замену:
$\lg x = -4$
$x = 10^{-4} = 0,0001$.
Значение $x = 0,0001$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = 0,0001$.

17.27. a) $\frac{1}{\log_2 x - 3} + \frac{4}{\log_2 x + 1} = \frac{4}{\log_2^2 x - 2 \log_2 x - 3}$

б) $\frac{\log_3 x}{2 \log_3 x - 6} + \frac{9}{9 - \log_3^2 x} = \frac{8}{2 \log_3 x + 6}$

в) $\frac{1}{5 - 4 \lg x} + \frac{4}{1 + \lg x} = 3$

г) $\frac{-4}{2 \lg x - \lg^2 x} + \frac{2}{2 - \lg x} = \frac{1}{2}$

а) $\frac{1}{\log_2 x - 3} + \frac{4}{\log_2 x + 1} = \frac{4}{\log_2^2 x - 2\log_2 x - 3}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$. Знаменатели не должны равняться нулю:
$\log_2 x - 3 \neq 0 \Rightarrow \log_2 x \neq 3 \Rightarrow x \neq 2^3 \Rightarrow x \neq 8$.
$\log_2 x + 1 \neq 0 \Rightarrow \log_2 x \neq -1 \Rightarrow x \neq 2^{-1} \Rightarrow x \neq 0.5$.
$\log_2^2 x - 2\log_2 x - 3 \neq 0$. Разложим знаменатель на множители: $\log_2^2 x - 2\log_2 x - 3 = (\log_2 x - 3)(\log_2 x + 1)$. Это условие совпадает с двумя предыдущими.
Итак, ОДЗ: $x > 0, x \neq 8, x \neq 0.5$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид:
$\frac{1}{t - 3} + \frac{4}{t + 1} = \frac{4}{t^2 - 2t - 3}$
$\frac{1}{t - 3} + \frac{4}{t + 1} = \frac{4}{(t - 3)(t + 1)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(t - 3)(t + 1)$, учитывая, что $t \neq 3$ и $t \neq -1$:
$1 \cdot (t + 1) + 4 \cdot (t - 3) = 4$
$t + 1 + 4t - 12 = 4$
$5t - 11 = 4$
$5t = 15$
$t = 3$

Полученное значение $t=3$ не входит в область допустимых значений для переменной $t$, так как при $t=3$ знаменатель $\log_2 x - 3$ обращается в ноль. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет корней.

б) $\frac{\log_3 x}{2\log_3 x - 6} + \frac{9}{9 - \log_3^2 x} = \frac{8}{2\log_3 x + 6}$

ОДЗ: $x > 0$. Знаменатели не равны нулю:
$2\log_3 x - 6 \neq 0 \Rightarrow \log_3 x \neq 3 \Rightarrow x \neq 27$.
$9 - \log_3^2 x \neq 0 \Rightarrow \log_3^2 x \neq 9 \Rightarrow \log_3 x \neq \pm 3 \Rightarrow x \neq 27, x \neq 3^{-3} = \frac{1}{27}$.
$2\log_3 x + 6 \neq 0 \Rightarrow \log_3 x \neq -3 \Rightarrow x \neq \frac{1}{27}$.
ОДЗ: $x > 0, x \neq 27, x \neq \frac{1}{27}$.

Пусть $t = \log_3 x$. Уравнение примет вид:
$\frac{t}{2(t - 3)} + \frac{9}{9 - t^2} = \frac{8}{2(t + 3)}$
$\frac{t}{2(t - 3)} - \frac{9}{(t - 3)(t + 3)} = \frac{4}{t + 3}$

Умножим обе части на общий знаменатель $2(t - 3)(t + 3)$ при условии $t \neq \pm 3$:
$t(t + 3) - 9 \cdot 2 = 4 \cdot 2(t - 3)$
$t^2 + 3t - 18 = 8t - 24$
$t^2 - 5t + 6 = 0$
По теореме Виета находим корни: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Корень $t_2 = 3$ является посторонним, так как не входит в ОДЗ для $t$. Остается $t_1 = 2$.
Выполняем обратную замену:
$\log_3 x = 2 \Rightarrow x = 3^2 = 9$.
Корень $x=9$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $9$.

в) $\frac{1}{5 - 4\lg x} + \frac{4}{1 + \lg x} = 3$

ОДЗ: $x > 0$. Знаменатели не равны нулю:
$5 - 4\lg x \neq 0 \Rightarrow \lg x \neq \frac{5}{4} \Rightarrow x \neq 10^{5/4}$.
$1 + \lg x \neq 0 \Rightarrow \lg x \neq -1 \Rightarrow x \neq 10^{-1} = 0.1$.
ОДЗ: $x > 0, x \neq 10^{5/4}, x \neq 0.1$.

Пусть $t = \lg x$. Уравнение:
$\frac{1}{5 - 4t} + \frac{4}{1 + t} = 3$

Умножим на общий знаменатель $(5 - 4t)(1 + t)$ при условии $t \neq \frac{5}{4}$ и $t \neq -1$:
$1(1 + t) + 4(5 - 4t) = 3(5 - 4t)(1 + t)$
$1 + t + 20 - 16t = 3(5 + 5t - 4t - 4t^2)$
$21 - 15t = 3(5 + t - 4t^2)$
$21 - 15t = 15 + 3t - 12t^2$
$12t^2 - 18t + 6 = 0$
Разделим на 6:
$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$
$t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4}$
$t_1 = \frac{3+1}{4} = 1$
$t_2 = \frac{3-1}{4} = \frac{1}{2}$
Оба корня удовлетворяют условиям для $t$.

Выполняем обратную замену:
1) $\lg x = 1 \Rightarrow x_1 = 10^1 = 10$.
2) $\lg x = \frac{1}{2} \Rightarrow x_2 = 10^{1/2} = \sqrt{10}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $10; \sqrt{10}$.

г) $\frac{-4}{2\lg x - \lg^2 x} + \frac{2}{2 - \lg x} = \frac{1}{2}$

ОДЗ: $x > 0$. Знаменатели не равны нулю:
$2\lg x - \lg^2 x \neq 0 \Rightarrow \lg x(2 - \lg x) \neq 0 \Rightarrow \lg x \neq 0$ и $\lg x \neq 2$.
$\lg x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
$\lg x \neq 2 \Rightarrow x \neq 100$.
ОДЗ: $x > 0, x \neq 1, x \neq 100$.

Пусть $t = \lg x$. Уравнение:
$\frac{-4}{2t - t^2} + \frac{2}{2 - t} = \frac{1}{2}$
$\frac{-4}{t(2 - t)} + \frac{2}{2 - t} = \frac{1}{2}$

Умножим на общий знаменатель $2t(2 - t)$ при условии $t \neq 0$ и $t \neq 2$:
$-4 \cdot 2 + 2 \cdot (2t) = 1 \cdot t(2 - t)$
$-8 + 4t = 2t - t^2$
$t^2 + 2t - 8 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = -4$, $t_2 = 2$.
Корень $t_2 = 2$ является посторонним, так как не входит в ОДЗ для $t$. Остается $t_1 = -4$.

Выполняем обратную замену:
$\lg x = -4 \Rightarrow x = 10^{-4} = 0.0001$.
Корень $x=0.0001$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $0.0001$.

○17.28.

a) $\log_4 x + \log_{16} x + \log_2 x = 7;$

б) $\log_3 x + \log_{\sqrt{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} x = 6.$

Дано уравнение: $\log_4 x + \log_{16} x + \log_2 x = 7$.
Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, следовательно, $x > 0$.
Для решения уравнения приведем все логарифмы к одному основанию. Наиболее удобным является основание 2, так как $4 = 2^2$ и $16 = 2^4$.
Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:
$\log_4 x = \log_{2^2} x = \frac{1}{2} \log_2 x$
$\log_{16} x = \log_{2^4} x = \frac{1}{4} \log_2 x$
Теперь подставим эти выражения обратно в исходное уравнение:
$\frac{1}{2} \log_2 x + \frac{1}{4} \log_2 x + \log_2 x = 7$
Вынесем общий множитель $\log_2 x$ за скобки:
$\log_2 x \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + 1) = 7$
Найдем значение выражения в скобках:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + 1 = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = \frac{7}{4}$
Уравнение принимает вид:
$\frac{7}{4} \log_2 x = 7$
Чтобы найти $\log_2 x$, умножим обе части уравнения на $\frac{4}{7}$:
$\log_2 x = 7 \cdot \frac{4}{7}$
$\log_2 x = 4$
По определению логарифма ($ \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b $), находим $x$:
$x = 2^4$
$x = 16$
Полученное значение $x=16$ удовлетворяет ОДЗ ($16 > 0$).

Ответ: 16

Дано уравнение: $\log_3 x + \log_{\sqrt{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} x = 6$.
ОДЗ: $x > 0$.
Приведем все логарифмы к основанию 3. Для этого представим основания $\sqrt{3}$ и $\frac{1}{3}$ в виде степени числа 3:
$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$
$\frac{1}{3} = 3^{-1}$
Используем свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:
$\log_{\sqrt{3}} x = \log_{3^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} \log_3 x = 2 \log_3 x$
$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3^{-1}} x = \frac{1}{-1} \log_3 x = - \log_3 x$
Подставим преобразованные выражения в уравнение:
$\log_3 x + 2 \log_3 x - \log_3 x = 6$
Сложим коэффициенты при $\log_3 x$:
$(1 + 2 - 1) \log_3 x = 6$
$2 \log_3 x = 6$
Разделим обе части на 2:
$\log_3 x = 3$
По определению логарифма находим $x$:
$x = 3^3$
$x = 27$
Полученное значение $x=27$ удовлетворяет ОДЗ ($27 > 0$).

Ответ: 27

17.29. a) $\log_3 x + 1 = 2 \log_x 3;$

б) $2 \log_x 5 - 3 = -\log_5 x;$

в) $\log_7 x - 1 = 6 \log_x 7;$

г) $\log_2 x + 9 \log_x 2 = 10.$

а) Исходное уравнение: $\log_3 x + 1 = 2 \log_x 3$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условиями: аргумент логарифма должен быть больше нуля ($x > 0$), а основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице ($x > 0, x \neq 1$). Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.
Для решения уравнения приведем все логарифмы к одному основанию, используя формулу перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.
В нашем случае, $\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\log_3 x + 1 = 2 \cdot \frac{1}{\log_3 x}$.
Введем замену переменной. Пусть $y = \log_3 x$. Уравнение примет вид:
$y + 1 = \frac{2}{y}$.
Домножим обе части уравнения на $y$, при условии, что $y \neq 0$ (что соответствует $x \neq 1$ из ОДЗ):
$y(y + 1) = 2$
$y^2 + y - 2 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета: $y_1 \cdot y_2 = -2$, $y_1 + y_2 = -1$. Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.
Теперь выполним обратную замену:
1) Если $y = 1$, то $\log_3 x = 1$, откуда $x = 3^1 = 3$.
2) Если $y = -2$, то $\log_3 x = -2$, откуда $x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.
Оба полученных значения $x = 3$ и $x = \frac{1}{9}$ удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $3; \frac{1}{9}$.

б) Исходное уравнение: $2 \log_x 5 - 3 = -\log_5 x$.
ОДЗ: $x > 0, x \neq 1$.
Приведем логарифмы к основанию 5, используя формулу $\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}$:
$2 \cdot \frac{1}{\log_5 x} - 3 = -\log_5 x$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_5 x$. Тогда уравнение примет вид:
$\frac{2}{y} - 3 = -y$.
Перенесем все члены в левую часть и домножим на $y$ ($y \neq 0$):
$y^2 - 3y + 2 = 0$.
Корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = 2$.
Выполним обратную замену:
1) Если $y = 1$, то $\log_5 x = 1$, откуда $x = 5^1 = 5$.
2) Если $y = 2$, то $\log_5 x = 2$, откуда $x = 5^2 = 25$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $5; 25$.

в) Исходное уравнение: $\log_7 x - 1 = 6 \log_x 7$.
ОДЗ: $x > 0, x \neq 1$.
Приведем логарифмы к основанию 7, используя формулу $\log_x 7 = \frac{1}{\log_7 x}$:
$\log_7 x - 1 = 6 \cdot \frac{1}{\log_7 x}$.
Пусть $y = \log_7 x$. Уравнение примет вид:
$y - 1 = \frac{6}{y}$.
Домножим обе части на $y$ ($y \neq 0$):
$y^2 - y = 6$
$y^2 - y - 6 = 0$.
Корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.
Выполним обратную замену:
1) Если $y = 3$, то $\log_7 x = 3$, откуда $x = 7^3 = 343$.
2) Если $y = -2$, то $\log_7 x = -2$, откуда $x = 7^{-2} = \frac{1}{49}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $343; \frac{1}{49}$.

г) Исходное уравнение: $\log_2 x + 9 \log_x 2 = 10$.
ОДЗ: $x > 0, x \neq 1$.
Используем формулу $\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$ для приведения логарифмов к одному основанию:
$\log_2 x + 9 \cdot \frac{1}{\log_2 x} = 10$.
Пусть $y = \log_2 x$. Уравнение примет вид:
$y + \frac{9}{y} = 10$.
Домножим обе части на $y$ ($y \neq 0$):
$y^2 + 9 = 10y$
$y^2 - 10y + 9 = 0$.
Корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = 9$.
Выполним обратную замену:
1) Если $y = 1$, то $\log_2 x = 1$, откуда $x = 2^1 = 2$.
2) Если $y = 9$, то $\log_2 x = 9$, откуда $x = 2^9 = 512$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $2; 512$.

17.30. a) $\log_x 2 \cdot \log_{2x} 2 = \log_{4x} 2$;

б) $\log_4(x + 2) \cdot \log_x 2 = 1$.

а)

Исходное уравнение: $\log_x 2 \cdot \log_{2x} 2 = \log_{4x} 2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма должно быть положительным и не равняться единице.

$\begin{cases} x > 0, x \ne 1 \\ 2x > 0, 2x \ne 1 \\ 4x > 0, 4x \ne 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0, x \ne 1 \\ x > 0, x \ne 1/2 \\ x > 0, x \ne 1/4 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 1/4) \cup (1/4; 1/2) \cup (1/2; 1) \cup (1; +\infty)$.

Для решения уравнения воспользуемся формулой замены основания логарифма $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ и приведем все логарифмы к основанию 2:

$\frac{1}{\log_2 x} \cdot \frac{1}{\log_2 (2x)} = \frac{1}{\log_2 (4x)}$

Используем свойство логарифма произведения $\log_b(mn) = \log_b m + \log_b n$:

$\frac{1}{\log_2 x \cdot (\log_2 2 + \log_2 x)} = \frac{1}{\log_2 4 + \log_2 x}$

Поскольку $\log_2 2 = 1$ и $\log_2 4 = 2$, уравнение принимает вид:

$\frac{1}{\log_2 x \cdot (1 + \log_2 x)} = \frac{1}{2 + \log_2 x}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. При этом из ОДЗ следует, что $t \ne 0$ (т.к. $x \ne 1$), $t \ne -1$ (т.к. $x \ne 1/2$) и $t \ne -2$ (т.к. $x \ne 1/4$).

$\frac{1}{t(1+t)} = \frac{1}{2+t}$

Приравниваем знаменатели:

$t(1+t) = 2+t$

$t + t^2 = 2 + t$

$t^2 = 2$

Отсюда получаем два значения для $t$: $t_1 = \sqrt{2}$ и $t_2 = -\sqrt{2}$.

Выполним обратную замену:

1) $\log_2 x = \sqrt{2} \implies x_1 = 2^{\sqrt{2}}$

2) $\log_2 x = -\sqrt{2} \implies x_2 = 2^{-\sqrt{2}}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2^{\sqrt{2}}$; $2^{-\sqrt{2}}$.

б)

Исходное уравнение: $\log_4 (x+2) \cdot \log_x 2 = 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x+2 > 0 \\ x > 0 \\ x \ne 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ x > 0 \\ x \ne 1 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

Приведем логарифмы к одному основанию, например, к 2, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ и свойство $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$:

$\log_4 (x+2) = \frac{\log_2(x+2)}{\log_2 4} = \frac{\log_2(x+2)}{2}$

$\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$\frac{\log_2(x+2)}{2} \cdot \frac{1}{\log_2 x} = 1$

Умножим обе части на $2\log_2 x$ (это возможно, т.к. из ОДЗ $x \ne 1$, значит $\log_2 x \ne 0$):

$\log_2(x+2) = 2\log_2 x$

Применим свойство степени логарифма $n \log_b a = \log_b a^n$:

$\log_2(x+2) = \log_2(x^2)$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$x+2 = x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0, x \ne 1$).

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-1 < 0$. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: 2.

17.31. a) $log^2_{0,5} 4x + log_2 \frac{x^2}{8} = 8;$

б) $log^2_3 x + log^2_9 x + log^2_{27} x = \frac{49}{9}.$

а) Решение уравнения $\log^2_{0,5} 4x + \log_2 \frac{x^2}{8} = 8$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$4x > 0 \implies x > 0$
$\frac{x^2}{8} > 0 \implies x^2 > 0 \implies x \neq 0$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.

2. Приведем все логарифмы к основанию 2.
Для первого слагаемого используем свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$ и свойство логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$:
$\log_{0,5} 4x = \log_{2^{-1}} 4x = -\log_2 4x = -(\log_2 4 + \log_2 x) = -(2 + \log_2 x)$.
Тогда $\log^2_{0,5} 4x = (-(2 + \log_2 x))^2 = (2 + \log_2 x)^2$.

3. Для второго слагаемого используем свойство логарифма частного $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$ и степени $\log_a b^k = k\log_a b$:
$\log_2 \frac{x^2}{8} = \log_2 x^2 - \log_2 8 = 2\log_2 x - 3$.

4. Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$(2 + \log_2 x)^2 + (2\log_2 x - 3) = 8$.

5. Введем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид:
$(2 + t)^2 + 2t - 3 = 8$.

6. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$4 + 4t + t^2 + 2t - 3 = 8$
$t^2 + 6t + 1 = 8$
$t^2 + 6t - 7 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -7$.

7. Выполним обратную замену:
При $t = 1$: $\log_2 x = 1 \implies x = 2^1 = 2$.
При $t = -7$: $\log_2 x = -7 \implies x = 2^{-7} = \frac{1}{128}$.

Оба корня ($2$ и $\frac{1}{128}$) принадлежат ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $2; \frac{1}{128}$.

б) Решение уравнения $\log^2_3 x + \log^2_9 x + \log^2_{27} x = \frac{49}{9}$

1. ОДЗ уравнения: $x > 0$.

2. Приведем все логарифмы к основанию 3, используя формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:
$\log_9 x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2}\log_3 x$
$\log_{27} x = \log_{3^3} x = \frac{1}{3}\log_3 x$.

3. Подставим преобразованные логарифмы в уравнение:
$(\log_3 x)^2 + (\frac{1}{2}\log_3 x)^2 + (\frac{1}{3}\log_3 x)^2 = \frac{49}{9}$
$(\log_3 x)^2 + \frac{1}{4}(\log_3 x)^2 + \frac{1}{9}(\log_3 x)^2 = \frac{49}{9}$.

4. Введем замену. Пусть $t = \log_3 x$. Уравнение принимает вид:
$t^2 + \frac{1}{4}t^2 + \frac{1}{9}t^2 = \frac{49}{9}$.

5. Вынесем $t^2$ за скобки и решим уравнение:
$t^2(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9}) = \frac{49}{9}$
$t^2(\frac{36 + 9 + 4}{36}) = \frac{49}{9}$
$t^2(\frac{49}{36}) = \frac{49}{9}$.
Разделим обе части на $\frac{49}{36}$:
$t^2 = \frac{49}{9} \cdot \frac{36}{49} = \frac{36}{9} = 4$.

6. Отсюда $t = \pm\sqrt{4}$, то есть $t_1 = 2$ и $t_2 = -2$.

7. Выполним обратную замену:
При $t = 2$: $\log_3 x = 2 \implies x = 3^2 = 9$.
При $t = -2$: $\log_3 x = -2 \implies x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.

Оба корня ($9$ и $\frac{1}{9}$) принадлежат ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $9; \frac{1}{9}$.

17.32. a) $1 + \log_x \frac{4 - x}{10} = (\lg x^2 - 1) \log_x 10;$

б) $1 + 2 \log_x 2 \cdot \log_4 (10 - x) = \frac{2}{\log_4 x}.$

а) $1 + \log_{x} \frac{4 - x}{10} = (\lg x^2 - 1) \log_{x} 10$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
1. Основание логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.
2. Аргумент логарифма: $\frac{4 - x}{10} > 0 \Rightarrow 4 - x > 0 \Rightarrow x < 4$.
3. Аргумент десятичного логарифма: $x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; 4)$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов. Сначала используем свойство логарифма частного $ \log_a(\frac{b}{c}) = \log_a b - \log_a c $ и свойство логарифма степени $ \log_a(b^n) = n \log_a b $: $ 1 + \log_x(4 - x) - \log_x 10 = (2 \lg x - 1) \log_x 10 $

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $ \log_a b = \frac{1}{\log_b a} $, чтобы выразить $ \log_x 10 $ через десятичный логарифм $ \lg x $ (где $ \lg x = \log_{10} x $): $ \log_x 10 = \frac{1}{\log_{10} x} = \frac{1}{\lg x} $

Подставим это в уравнение: $ 1 + \log_x(4 - x) - \frac{1}{\lg x} = (2 \lg x - 1) \cdot \frac{1}{\lg x} $

Раскроем скобки в правой части: $ 1 + \log_x(4 - x) - \frac{1}{\lg x} = \frac{2 \lg x}{\lg x} - \frac{1}{\lg x} $ $ 1 + \log_x(4 - x) - \frac{1}{\lg x} = 2 - \frac{1}{\lg x} $

Сократим $ -\frac{1}{\lg x} $ в обеих частях уравнения: $ 1 + \log_x(4 - x) = 2 $ $ \log_x(4 - x) = 1 $

По определению логарифма: $ 4 - x = x^1 $ $ 4 - x = x $ $ 2x = 4 $ $ x = 2 $

Проверим, соответствует ли корень ОДЗ ($x \in (0; 1) \cup (1; 4)$). Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $2$.

б) $1 + 2 \log_{x} 2 \cdot \log_{4}(10 - x) = \frac{2}{\log_{4} x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
1. Основание логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.
2. Аргумент логарифма: $10 - x > 0 \Rightarrow x < 10$.
3. Знаменатель: $\log_4 x \neq 0 \Rightarrow x \neq 4^0 \Rightarrow x \neq 1$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; 10)$.

Приведем все логарифмы к одному основанию, например, к основанию 4. Используем формулу перехода к новому основанию $ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $: $ \log_x 2 = \frac{\log_4 2}{\log_4 x} $

Так как $ 4^{1/2} = 2 $, то $ \log_4 2 = \frac{1}{2} $. Следовательно, $ \log_x 2 = \frac{1/2}{\log_4 x} $.

Подставим это выражение в исходное уравнение: $ 1 + 2 \cdot \frac{1/2}{\log_4 x} \cdot \log_4(10 - x) = \frac{2}{\log_4 x} $ $ 1 + \frac{1}{\log_4 x} \cdot \log_4(10 - x) = \frac{2}{\log_4 x} $ $ 1 + \frac{\log_4(10 - x)}{\log_4 x} = \frac{2}{\log_4 x} $

Умножим обе части уравнения на $ \log_4 x $ (это допустимо, так как из ОДЗ $x \neq 1$, следовательно $ \log_4 x \neq 0 $): $ \log_4 x + \log_4(10 - x) = 2 $

Используем свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $: $ \log_4(x(10 - x)) = 2 $

По определению логарифма: $ x(10 - x) = 4^2 $ $ 10x - x^2 = 16 $ $ x^2 - 10x + 16 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: $ x_1 + x_2 = 10 $ $ x_1 \cdot x_2 = 16 $ Подбором находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 8$.

Проверим, соответствуют ли корни ОДЗ ($x \in (0; 1) \cup (1; 10)$). Оба корня, $x=2$ и $x=8$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2; 8$.