Страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Какое из двух утверждений верно, если $a > 1$:

а) неравенство $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) < g(x)$;

б) неравенство $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) > g(x)$?

Для решения этой задачи необходимо проанализировать свойства показательной функции $y = a^x$ при условии, что основание $a > 1$.

Когда основание степени $a$ больше единицы ($a > 1$), показательная функция является монотонно возрастающей. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 > x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$. И наоборот, если $a^{x_1} > a^{x_2}$, то из этого следует, что $x_1 > x_2$.

Другими словами, при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей (и обратно) знак неравенства сохраняется, если основание степени больше 1.

Применим это свойство к заданному неравенству $a^{f(x)} > a^{g(x)}$. Так как по условию $a > 1$, это неравенство будет равносильно неравенству для показателей $f(x)$ и $g(x)$ с тем же знаком:

$f(x) > g(x)$

Теперь сравним этот результат с предложенными утверждениями:

а) Утверждение, что неравенство $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) < g(x)$, является неверным. Оно было бы верным, если бы основание степени удовлетворяло условию $0 < a < 1$ (так как в этом случае показательная функция является убывающей и знак неравенства меняется на противоположный).

б) Утверждение, что неравенство $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) > g(x)$, является верным, так как оно в точности соответствует свойству возрастающей показательной функции с основанием $a > 1$.

Таким образом, верным является утверждение б).

Ответ: б)

2. Какое из двух утверждений верно, если $0 < a < 1$:

а) неравенство $a^{f(x)} \leq a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) \leq g(x);$

б) неравенство $a^{f(x)} \leq a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) \geq g(x)?$

Чтобы определить, какое из двух утверждений является верным, необходимо рассмотреть свойства показательной функции $y = a^x$ в зависимости от ее основания $a$.

Ключевым свойством является монотонность функции:

• Если основание $a > 1$, то показательная функция $y = a^x$ является строго возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поэтому при решении неравенств вида $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ знак неравенства для показателей сохраняется: $f(x) \le g(x)$.
• Если основание $0 < a < 1$, то показательная функция $y = a^x$ является строго убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, при решении неравенств вида $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ знак неравенства для показателей меняется на противоположный: $f(x) \ge g(x)$.

В условии задачи дано, что $0 < a < 1$. Это означает, что мы имеем дело со вторым случаем — убывающей показательной функцией. Поэтому неравенство $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) \ge g(x)$.

Теперь проанализируем каждое утверждение:

а) неравенство $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) \le g(x)$

Это утверждение было бы верным, если бы $a > 1$. Но поскольку по условию $0 < a < 1$, оно неверно.

б) неравенство $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) \ge g(x)$

Это утверждение верно, так как для основания $0 < a < 1$ показательная функция является убывающей, и при переходе к неравенству для показателей знак должен измениться на противоположный.

Ответ: верно утверждение б).

18.4. a) $\log_5 x > \log_5 (3x - 4);$

Б) $\log_{0.6} (2x - 1) < \log_{0.6} x;$

В) $\log_{\frac{1}{3}} (5x - 9) \ge \log_{\frac{1}{3}} 4x;$

Г) $\log_3 (8 - 6x) \le \log_3 2x.$

а) Исходное неравенство: $\log_{5} x > \log_{5} (3x - 4)$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которой все выражения под знаком логарифма положительны. Для этого решим систему неравенств:
$\begin{cases} x > 0 \\ 3x - 4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ 3x > 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > \frac{4}{3} \end{cases}$.
Пересечением этих условий является $x > \frac{4}{3}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{4}{3}; +\infty)$.
Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется.
$x > 3x - 4$
$4 > 3x - x$
$4 > 2x$
$2 > x$, то есть $x < 2$.
Теперь найдем пересечение полученного решения $x < 2$ с ОДЗ $x > \frac{4}{3}$.
$\begin{cases} x < 2 \\ x > \frac{4}{3} \end{cases}$, что соответствует интервалу $\frac{4}{3} < x < 2$.
Ответ: $(\frac{4}{3}; 2)$.

б) Исходное неравенство: $\log_{0,6} (2x - 1) < \log_{0,6} x$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x > 1 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ x > 0 \end{cases}$.
Пересечением является $x > \frac{1}{2}$. ОДЗ: $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.
Основание логарифма $0,6$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
$2x - 1 > x$
$2x - x > 1$
$x > 1$.
Учитывая ОДЗ $x > \frac{1}{2}$ и полученное решение $x > 1$, находим их пересечение.
$\begin{cases} x > 1 \\ x > \frac{1}{2} \end{cases}$, что дает $x > 1$.
Ответ: $(1; +\infty)$.

в) Исходное неравенство: $\log_{\frac{1}{3}} (5x - 9) \geq \log_{\frac{1}{3}} (4x)$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 5x - 9 > 0 \\ 4x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5x > 9 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{9}{5} \\ x > 0 \end{cases}$.
Пересечением является $x > \frac{9}{5}$. ОДЗ: $x \in (\frac{9}{5}; +\infty)$.
Основание логарифма $\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
$5x - 9 \leq 4x$
$5x - 4x \leq 9$
$x \leq 9$.
Найдем пересечение решения $x \leq 9$ с ОДЗ $x > \frac{9}{5}$.
$\begin{cases} x \leq 9 \\ x > \frac{9}{5} \end{cases}$, что соответствует интервалу $\frac{9}{5} < x \leq 9$.
Ответ: $(\frac{9}{5}; 9]$.

г) Исходное неравенство: $\log_{3} (8 - 6x) \leq \log_{3} (2x)$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 8 - 6x > 0 \\ 2x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 8 > 6x \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < \frac{8}{6} \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < \frac{4}{3} \\ x > 0 \end{cases}$.
Пересечением является $0 < x < \frac{4}{3}$. ОДЗ: $x \in (0; \frac{4}{3})$.
Основание логарифма $3 > 1$, поэтому логарифмическая функция является возрастающей, и при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется.
$8 - 6x \leq 2x$
$8 \leq 2x + 6x$
$8 \leq 8x$
$1 \leq x$, или $x \geq 1$.
Найдем пересечение решения $x \geq 1$ с ОДЗ $0 < x < \frac{4}{3}$.
$\begin{cases} x \geq 1 \\ 0 < x < \frac{4}{3} \end{cases}$, что соответствует интервалу $1 \leq x < \frac{4}{3}$.
Ответ: $[1; \frac{4}{3})$.

18.5. a) $\log_2(5x - 9) \le \log_2(3x + 1);$

б) $\log_{0.4}(12x + 2) \ge \log_{0.4}(10x + 16);$

в) $\log_{\frac{2}{3}}(-x) > \log_{\frac{2}{3}}(4 - 2x);$

г) $\log_{2.5}(6 - x) < \log_{2.5}(4 - 3x).$

а) $\log_2(5x - 9) \le \log_2(3x + 1)$

Данное логарифмическое неравенство равносильно системе неравенств. Во-первых, аргументы логарифмов должны быть строго положительными (область допустимых значений, ОДЗ):

$\begin{cases} 5x - 9 > 0 \\ 3x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 5x > 9 \\ 3x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{9}{5} \\ x > -\frac{1}{3} \end{cases} \implies x > 1.8$

Во-вторых, так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2(t)$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$5x - 9 \le 3x + 1$

$5x - 3x \le 1 + 9$

$2x \le 10$

$x \le 5$

18.6. a) $log_{\sqrt{2}-1}(7x - 21) \le log_{\sqrt{2}-1}(21 - 3x);$

б) $log_{\sqrt{2}+1}(2x + 7) > log_{\sqrt{2}+1}(19 - 6x);$

в) $log_{\pi}(5x - 15) \ge log_{\pi}(15 - 3x);$

г) $log_{2-\sqrt{3}}(4x + 17) < log_{2-\sqrt{3}}(25 - 5x).$

а) $ \log_{\sqrt{2}-1}(7x - 21) \le \log_{\sqrt{2}-1}(21 - 3x) $

Первым шагом определим свойства логарифмической функции. Основание логарифма $ a = \sqrt{2}-1 $. Поскольку $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то значение основания $ a \approx 0.414 $. Таким образом, $ 0 < a < 1 $. Это означает, что логарифмическая функция с таким основанием является убывающей. При переходе от логарифмического неравенства к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

Неравенство равносильно системе, включающей измененное неравенство для аргументов и область допустимых значений (ОДЗ), где оба аргумента должны быть строго положительными.

$ \begin{cases} 7x - 21 \ge 21 - 3x \\ 7x - 21 > 0 \\ 21 - 3x > 0 \end{cases} $

Заметим, что из первого неравенства $ 7x - 21 \ge 21 - 3x $ и третьего $ 21 - 3x > 0 $ следует, что $ 7x - 21 $ больше положительного числа, а значит, и само положительно. Поэтому второе неравенство $ 7x - 21 > 0 $ можно опустить. Система упрощается:

$ \begin{cases} 7x - 21 \ge 21 - 3x \\ 21 - 3x > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство системы:

$ 7x + 3x \ge 21 + 21 $

$ 10x \ge 42 $

$ x \ge 4.2 $

Решим второе неравенство системы:

$ 21 > 3x $

$ 7 > x $, или $ x < 7 $

Пересечение решений двух неравенств дает итоговый интервал: $ 4.2 \le x < 7 $.

Ответ: $ x \in [4.2; 7) $.

б) $ \log_{\sqrt{2}+1}(2x + 7) > \log_{\sqrt{2}+1}(19 - 6x) $

Основание логарифма $ a = \sqrt{2}+1 $. Поскольку $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то $ a \approx 2.414 $, что больше 1. Логарифмическая функция с основанием больше 1 является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется.

Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 2x + 7 > 19 - 6x \\ 19 - 6x > 0 \end{cases} $

(Условие $ 2x+7 > 0 $ выполняется автоматически, так как из системы следует, что $ 2x+7 $ больше положительного числа $ 19-6x $).

Решим первое неравенство:

$ 2x + 6x > 19 - 7 $

$ 8x > 12 $

$ x > \frac{12}{8} \Rightarrow x > \frac{3}{2} \Rightarrow x > 1.5 $

Решим второе неравенство:

$ 19 > 6x $

$ x < \frac{19}{6} $

Объединяя решения, получаем интервал $ 1.5 < x < \frac{19}{6} $.

Ответ: $ x \in (1.5; \frac{19}{6}) $.

в) $ \log_{\pi}(5x - 15) \ge \log_{\pi}(15 - 3x) $

Основание логарифма $ a = \pi \approx 3.14159... $. Так как $ a > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется.

Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 5x - 15 \ge 15 - 3x \\ 15 - 3x > 0 \end{cases} $

(Условие $ 5x-15 > 0 $ следует из того, что $ 5x-15 $ больше или равно положительному числу $ 15-3x $).

Решим первое неравенство:

$ 5x + 3x \ge 15 + 15 $

$ 8x \ge 30 $

$ x \ge \frac{30}{8} \Rightarrow x \ge \frac{15}{4} \Rightarrow x \ge 3.75 $

Решим второе неравенство:

$ 15 > 3x $

$ 5 > x $, или $ x < 5 $

Пересечение решений дает итоговый полуинтервал: $ 3.75 \le x < 5 $.

Ответ: $ x \in [3.75; 5) $.

г) $ \log_{2-\sqrt{3}}(4x + 17) < \log_{2-\sqrt{3}}(25 - 5x) $

Основание логарифма $ a = 2-\sqrt{3} $. Оценим его значение. Так как $ 1^2 < (\sqrt{3})^2 < 2^2 $, то $ 1 < \sqrt{3} < 2 $. Тогда $ -2 < -\sqrt{3} < -1 $. Прибавив 2, получаем $ 0 < 2-\sqrt{3} < 1 $. Основание логарифма находится в интервале $ (0; 1) $, значит, логарифмическая функция убывающая. Знак неравенства меняется на противоположный.

Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 4x + 17 > 25 - 5x \\ 25 - 5x > 0 \end{cases} $

(Условие $ 4x+17 > 0 $ выполняется автоматически).

Решим первое неравенство:

$ 4x + 5x > 25 - 17 $

$ 9x > 8 $

$ x > \frac{8}{9} $

Решим второе неравенство:

$ 25 > 5x $

$ 5 > x $, или $ x < 5 $

Объединяя решения, получаем интервал $ \frac{8}{9} < x < 5 $.

Ответ: $ x \in (\frac{8}{9}; 5) $.

18.7. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

a) $ \log_7(6x - 9) < \log_7(2x + 3); $

б) $ \log_{\frac{1}{5}}(2 - x) \ge \log_{\frac{1}{5}}(2x + 4); $

в) $ \lg(8x - 16) < \lg(3x + 1); $

г) $ \log_{0.4}(7 - x) \ge \log_{0.4}(3x + 6). $

а) Решим неравенство $ \log_7(6x - 9) < \log_7(2x + 3) $.
1. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:
$ \begin{cases} 6x - 9 > 0 \\ 2x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 6x > 9 \\ 2x > -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{9}{6} \\ x > -\frac{3}{2} \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1.5 \\ x > -1.5 \end{cases} $
Пересечением этих условий является $ x > 1.5 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (1.5, +\infty) $.
2. Так как основание логарифма $ 7 > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$ 6x - 9 < 2x + 3 $
$ 6x - 2x < 3 + 9 $
$ 4x < 12 $
$ x < 3 $
3. Объединим полученное решение с ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 1.5 \\ x < 3 \end{cases} $
Решением неравенства является интервал $ (1.5, 3) $.
4. Наибольшее целое число, принадлежащее этому интервалу, это 2.
Ответ: 2.

б) Решим неравенство $ \log_{\frac{1}{5}}(2 - x) \ge \log_{\frac{1}{5}}(2x + 4) $.
1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} 2 - x > 0 \\ 2x + 4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ 2x > -4 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ x > -2 \end{cases} $
ОДЗ: $ x \in (-2, 2) $.
2. Так как основание логарифма $ 0 < \frac{1}{5} < 1 $, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$ 2 - x \le 2x + 4 $
$ -x - 2x \le 4 - 2 $
$ -3x \le 2 $
$ x \ge -\frac{2}{3} $
3. Объединим полученное решение с ОДЗ:
$ \begin{cases} -2 < x < 2 \\ x \ge -\frac{2}{3} \end{cases} $
Решением неравенства является полуинтервал $ [-\frac{2}{3}, 2) $.
4. Целые числа, принадлежащие этому полуинтервалу: 0, 1. Наибольшее из них — 1.
Ответ: 1.

в) Решим неравенство $ \lg(8x - 16) < \lg(3x + 1) $. ($ \lg $ — это десятичный логарифм, $ \log_{10} $)
1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} 8x - 16 > 0 \\ 3x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 8x > 16 \\ 3x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > -\frac{1}{3} \end{cases} $
ОДЗ: $ x \in (2, +\infty) $.
2. Так как основание логарифма $ 10 > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:
$ 8x - 16 < 3x + 1 $
$ 8x - 3x < 1 + 16 $
$ 5x < 17 $
$ x < \frac{17}{5} $
$ x < 3.4 $
3. Объединим полученное решение с ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 2 \\ x < 3.4 \end{cases} $
Решением неравенства является интервал $ (2, 3.4) $.
4. Наибольшее целое число, принадлежащее этому интервалу, это 3.
Ответ: 3.

г) Решим неравенство $ \log_{0.4}(7 - x) \ge \log_{0.4}(3x + 6) $.
1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} 7 - x > 0 \\ 3x + 6 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 7 \\ 3x > -6 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 7 \\ x > -2 \end{cases} $
ОДЗ: $ x \in (-2, 7) $.
2. Так как основание логарифма $ 0 < 0.4 < 1 $, логарифмическая функция является убывающей, и знак неравенства меняется на противоположный:
$ 7 - x \le 3x + 6 $
$ -x - 3x \le 6 - 7 $
$ -4x \le -1 $
$ x \ge \frac{1}{4} $
$ x \ge 0.25 $
3. Объединим полученное решение с ОДЗ:
$ \begin{cases} -2 < x < 7 \\ x \ge 0.25 \end{cases} $
Решением неравенства является полуинтервал $ [0.25, 7) $.
4. Целые числа, принадлежащие этому полуинтервалу: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наибольшее из них — 6.
Ответ: 6.

Решите неравенство:

18.8. a) $log_3 (x^2 + 6) < log_3 5x;$

б) $log_{0.6} (6x - x^2) > log_{0.6} (-8 - x);$

в) $lg (x^2 - 8) \leq lg (2 - 9x);$

г) $log_{\sqrt{2}} (x^2 + 10x) \geq log_{\sqrt{2}} (x - 14).$

а) $\log_3(x^2 + 6) < \log_3 5x$

Данное логарифмическое неравенство равносильно системе неравенств. Во-первых, аргументы логарифмов должны быть строго положительными (область допустимых значений, ОДЗ):
$ \begin{cases} x^2 + 6 > 0 \\ 5x > 0 \end{cases} $
Первое неравенство, $x^2 + 6 > 0$, выполняется для любого действительного значения $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 6 \ge 6$.
Из второго неравенства, $5x > 0$, получаем $x > 0$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$x^2 + 6 < 5x$
$x^2 - 5x + 6 < 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 5x + 6$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 5x + 6 < 0$ выполняется между корнями: $2 < x < 3$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 0 \\ 2 < x < 3 \end{cases} $
Пересечением является интервал $(2, 3)$.
Ответ: $(2, 3)$.

б) $\log_{0.6}(6x - x^2) > \log_{0.6}(-8 - x)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), потребовав, чтобы аргументы обоих логарифмов были строго положительными:
$ \begin{cases} 6x - x^2 > 0 \\ -8 - x > 0 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $x(6 - x) > 0$. Корни $x=0$ и $x=6$. Ветви параболы $y = 6x - x^2$ направлены вниз, поэтому неравенство выполняется между корнями: $0 < x < 6$.
Решим второе неравенство: $-8 > x$, или $x < -8$.
Найдем пересечение решений системы:
$ \begin{cases} 0 < x < 6 \\ x < -8 \end{cases} $
Данная система не имеет решений, так как множества $(0, 6)$ и $(-\infty, -8)$ не пересекаются. Следовательно, ОДЗ является пустым множеством.

Поскольку область допустимых значений пуста, исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

в) $\lg(x^2 - 8) \le \lg(2 - 9x)$

Найдем ОДЗ. Аргументы десятичных логарифмов должны быть положительными:
$ \begin{cases} x^2 - 8 > 0 \\ 2 - 9x > 0 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $x^2 > 8$, что дает $x < -\sqrt{8}$ или $x > \sqrt{8}$. То есть $x \in (-\infty, -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}, +\infty)$.
Решим второе неравенство: $2 > 9x$, что дает $x < \frac{2}{9}$.
Найдем пересечение этих условий. Так как $2\sqrt{2} \approx 2.828$, а $\frac{2}{9} \approx 0.222$, то условие $x > 2\sqrt{2}$ несовместимо с $x < \frac{2}{9}$. Остается $x < -2\sqrt{2}$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, -2\sqrt{2})$.

Основание логарифма $10 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 8 \le 2 - 9x$
$x^2 + 9x - 10 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 9x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -10$ и $x_2 = 1$.
Ветви параболы $y = x^2 + 9x - 10$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями: $-10 \le x \le 1$.

Учтем ОДЗ, найдя пересечение полученного решения с ОДЗ:
$ \begin{cases} x < -2\sqrt{2} \\ -10 \le x \le 1 \end{cases} $
Так как $-10 < -2\sqrt{2} \approx -2.828 < 1$, пересечением является полуинтервал $[-10, -2\sqrt{2})$.
Ответ: $[-10, -2\sqrt{2})$.

г) $\log_{\sqrt{2}}(x^2 + 10x) \ge \log_{\sqrt{2}}(x - 14)$

Найдем ОДЗ из условия положительности аргументов логарифмов:
$ \begin{cases} x^2 + 10x > 0 \\ x - 14 > 0 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $x(x + 10) > 0$. Корни $x=0$ и $x=-10$. Ветви параболы направлены вверх, решение: $x \in (-\infty, -10) \cup (0, +\infty)$.
Решим второе неравенство: $x > 14$.
Найдем пересечение решений: $(-\infty, -10) \cup (0, +\infty)$ и $(14, +\infty)$.
ОДЗ: $x \in (14, +\infty)$.

Основание логарифма $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:
$x^2 + 10x \ge x - 14$
$x^2 + 9x + 14 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 9x + 14 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -7$ и $x_2 = -2$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне отрезка между корнями: $x \le -7$ или $x \ge -2$. Решение: $x \in (-\infty, -7] \cup [-2, +\infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 14 \\ x \in (-\infty, -7] \cup [-2, +\infty) \end{cases} $
Пересечением является интервал $(14, +\infty)$.
Ответ: $(14, +\infty)$.

18.9. a) $log_{\pi-3}(6-x) \ge log_{\pi-3}x^2;$

б) $log_{\pi-2}(x^2+22) < log_{\pi-2}13x;$

в) $log_{3-0,5\pi}(-x-6) \le log_{3-0,5\pi}(6-x^2);$

г) $log_{3,2-\pi}(x^2-27) > log_{3,2-\pi}6x.$

а) $\log_{\pi-3}(6-x) \ge \log_{\pi-3}x^2$

1. Определим основание логарифма: $a = \pi - 3$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $a \approx 0.14159$. Основание удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Это означает, что логарифмическая функция является убывающей, и при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства изменится на противоположный.

2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

$\begin{cases} 6 - x > 0 \\ x^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 6 \\ x \ne 0 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 6)$.

3. Решим неравенство. Так как основание $0 < \pi - 3 < 1$, меняем знак неравенства:

$6 - x \le x^2$

$x^2 + x - 6 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант), корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 6$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + x - 6 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -3] \cup [2; \infty)$.

4. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$(-\infty; -3] \cup [2; \infty) \cap ((-\infty; 0) \cup (0; 6)) = (-\infty; -3] \cup [2; 6)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [2, 6)$.

б) $\log_{\pi-2}(x^2+22) < \log_{\pi-2}13x$

1. Определим основание логарифма: $a = \pi - 2$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $a \approx 1.14159$. Основание удовлетворяет условию $a > 1$. Это означает, что логарифмическая функция является возрастающей, и при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства сохранится.

2. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x^2 + 22 > 0 \\ 13x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty, \infty) \\ x > 0 \end{cases}$

Первое неравенство $x^2 + 22 > 0$ верно для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$. Таким образом, ОДЗ: $x > 0$.

3. Решим неравенство. Так как основание $\pi - 2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x^2 + 22 < 13x$

$x^2 - 13x + 22 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 13x + 22 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 11$.

Графиком функции $y = x^2 - 13x + 22$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 13x + 22 < 0$ выполняется между корнями: $2 < x < 11$.

4. Пересечем полученное решение с ОДЗ:

$(2; 11) \cap (0; \infty) = (2; 11)$.

Ответ: $x \in (2, 11)$.

в) $\log_{3-0.5\pi}(-x-6) \le \log_{3-0.5\pi}(6-x^2)$

1. Определим основание логарифма: $a = 3 - 0.5\pi$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $0.5\pi \approx 1.5708$. Тогда $a \approx 3 - 1.5708 \approx 1.4292$. Основание удовлетворяет условию $a > 1$, значит, логарифмическая функция возрастающая.

2. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} -x - 6 > 0 \\ 6 - x^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < -6 \\ x^2 < 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < -6 \\ -\sqrt{6} < x < \sqrt{6} \end{cases}$

Поскольку $-6 < -\sqrt{6}$ (так как $36 > 6$), то условие $x < -6$ и условие $-\sqrt{6} < x < \sqrt{6}$ не могут выполняться одновременно. Система неравенств не имеет решений. Область допустимых значений является пустым множеством.

Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

г) $\log_{3.2-\pi}(x^2-27) > \log_{3.2-\pi}6x$

1. Определим основание логарифма: $a = 3.2 - \pi$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $a \approx 3.2 - 3.14159 \approx 0.05841$. Основание удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Это означает, что логарифмическая функция является убывающей, и при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства изменится на противоположный.

2. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x^2 - 27 > 0 \\ 6x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 > 27 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -\sqrt{27}) \cup (\sqrt{27}; \infty) \\ x > 0 \end{cases}$

Учитывая, что $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$, пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in (3\sqrt{3}; \infty)$.

3. Решим неравенство. Так как основание $0 < 3.2 - \pi < 1$, меняем знак неравенства:

$x^2 - 27 < 6x$

$x^2 - 6x - 27 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x - 27 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 9$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x - 27$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 6x - 27 < 0$ выполняется между корнями: $-3 < x < 9$.

4. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$(-3; 9) \cap (3\sqrt{3}; \infty)$. Так как $3\sqrt{3} = \sqrt{27}$, а $3 = \sqrt{9}$ и $9 = \sqrt{81}$, то $\sqrt{9} < \sqrt{27} < \sqrt{81}$, то есть $3 < 3\sqrt{3} < 9$.

Следовательно, пересечением является интервал $(3\sqrt{3}; 9)$.

Ответ: $x \in (3\sqrt{3}, 9)$.

18.10. a) $log_2 \frac{4 - x}{x - 2} \le log_2 \frac{1}{x - 2};$

б) $log_{0,5} \frac{7}{3x - 2} > log_{0,5} \frac{4x}{3x - 2}.$

Исходное неравенство: $ \log_2 \frac{4-x}{x-2} \le \log_2 \frac{1}{x-2} $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} \frac{4-x}{x-2} > 0 \\ \frac{1}{x-2} > 0 \end{cases} $

Из второго неравенства системы следует, что знаменатель должен быть положителен: $ x - 2 > 0 $, откуда $ x > 2 $.

Теперь рассмотрим первое неравенство. Поскольку мы уже знаем, что знаменатель $ x-2 $ положителен, для выполнения первого неравенства необходимо, чтобы его числитель $ 4 - x $ также был положителен: $ 4 - x > 0 $, откуда $ x < 4 $.

Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: $ 2 < x < 4 $, что в виде интервала записывается как $ x \in (2; 4) $.

Далее решаем основное неравенство. Основание логарифма равно 2, что больше 1. Это означает, что логарифмическая функция $ y=\log_2(t) $ является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов, сохраняя знак неравенства:

$ \frac{4-x}{x-2} \le \frac{1}{x-2} $

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{4-x}{x-2} - \frac{1}{x-2} \le 0 $

$ \frac{4-x-1}{x-2} \le 0 $

$ \frac{3-x}{x-2} \le 0 $

Для решения этого рационального неравенства применим метод интервалов. Нули числителя: $ 3-x=0 \Rightarrow x=3 $. Нуль знаменателя: $ x-2=0 \Rightarrow x=2 $. Нанесем эти точки на числовую прямую. Точка $ x=3 $ включается в решение (неравенство нестрогое), а точка $ x=2 $ исключается (знаменатель не может быть равен нулю).

Определим знаки выражения $ \frac{3-x}{x-2} $ на полученных интервалах:

• на интервале $ (-\infty; 2) $ выражение отрицательно;
• на интервале $ (2; 3] $ выражение положительно;
• на интервале $ [3; +\infty) $ выражение отрицательно.

Решением неравенства $ \frac{3-x}{x-2} \le 0 $ является объединение интервалов $ (-\infty; 2) \cup [3; +\infty) $.

Наконец, найдем пересечение этого решения с ОДЗ $ x \in (2; 4) $.

$ ((-\infty; 2) \cup [3; +\infty)) \cap (2; 4) = [3; 4) $.

Ответ: $ [3; 4) $.

Исходное неравенство: $ \log_{0.5} \frac{7}{3x-2} > \log_{0.5} \frac{4x}{3x-2} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:

$ \begin{cases} \frac{7}{3x-2} > 0 \\ \frac{4x}{3x-2} > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства, так как числитель $ 7 > 0 $, следует, что и знаменатель должен быть положителен: $ 3x - 2 > 0 $, откуда $ x > \frac{2}{3} $.

Подставим это условие во второе неравенство. Зная, что знаменатель $ 3x-2 $ положителен, для выполнения второго неравенства требуем, чтобы числитель $ 4x $ также был положителен: $ 4x > 0 $, откуда $ x > 0 $.

Пересечение условий $ x > \frac{2}{3} $ и $ x > 0 $ дает нам ОДЗ: $ x > \frac{2}{3} $, или $ x \in (\frac{2}{3}; +\infty) $.

Теперь решим само неравенство. Основание логарифма равно 0.5, что находится в интервале $ (0; 1) $. Это означает, что логарифмическая функция $ y=\log_{0.5}(t) $ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$ \frac{7}{3x-2} < \frac{4x}{3x-2} $

Перенесем все в левую часть:

$ \frac{7}{3x-2} - \frac{4x}{3x-2} < 0 $

$ \frac{7-4x}{3x-2} < 0 $

Решим полученное неравенство методом интервалов. Нули числителя: $ 7-4x=0 \Rightarrow x=\frac{7}{4} $. Нуль знаменателя: $ 3x-2=0 \Rightarrow x=\frac{2}{3} $. Обе точки на числовой прямой будут выколотыми, так как неравенство строгое.

Определим знаки выражения $ \frac{7-4x}{3x-2} $ на интервалах:

• на интервале $ (-\infty; \frac{2}{3}) $ выражение отрицательно;
• на интервале $ (\frac{2}{3}; \frac{7}{4}) $ выражение положительно;
• на интервале $ (\frac{7}{4}; +\infty) $ выражение отрицательно.

Решением неравенства $ \frac{7-4x}{3x-2} < 0 $ является объединение интервалов $ (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (\frac{7}{4}; +\infty) $.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $ x \in (\frac{2}{3}; +\infty) $.

$ ((-\infty; \frac{2}{3}) \cup (\frac{7}{4}; +\infty)) \cap (\frac{2}{3}; +\infty) = (\frac{7}{4}; +\infty) $.

Ответ: $ (\frac{7}{4}; +\infty) $.