Номер 18.6, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.6, страница 111.

18.6. a) $log_{\sqrt{2}-1}(7x - 21) \le log_{\sqrt{2}-1}(21 - 3x);$

б) $log_{\sqrt{2}+1}(2x + 7) > log_{\sqrt{2}+1}(19 - 6x);$

в) $log_{\pi}(5x - 15) \ge log_{\pi}(15 - 3x);$

г) $log_{2-\sqrt{3}}(4x + 17) < log_{2-\sqrt{3}}(25 - 5x).$

а) $ \log_{\sqrt{2}-1}(7x - 21) \le \log_{\sqrt{2}-1}(21 - 3x) $

Первым шагом определим свойства логарифмической функции. Основание логарифма $ a = \sqrt{2}-1 $. Поскольку $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то значение основания $ a \approx 0.414 $. Таким образом, $ 0 < a < 1 $. Это означает, что логарифмическая функция с таким основанием является убывающей. При переходе от логарифмического неравенства к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

Неравенство равносильно системе, включающей измененное неравенство для аргументов и область допустимых значений (ОДЗ), где оба аргумента должны быть строго положительными.

$ \begin{cases} 7x - 21 \ge 21 - 3x \\ 7x - 21 > 0 \\ 21 - 3x > 0 \end{cases} $

Заметим, что из первого неравенства $ 7x - 21 \ge 21 - 3x $ и третьего $ 21 - 3x > 0 $ следует, что $ 7x - 21 $ больше положительного числа, а значит, и само положительно. Поэтому второе неравенство $ 7x - 21 > 0 $ можно опустить. Система упрощается:

$ \begin{cases} 7x - 21 \ge 21 - 3x \\ 21 - 3x > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство системы:

$ 7x + 3x \ge 21 + 21 $

$ 10x \ge 42 $

$ x \ge 4.2 $

Решим второе неравенство системы:

$ 21 > 3x $

$ 7 > x $, или $ x < 7 $

Пересечение решений двух неравенств дает итоговый интервал: $ 4.2 \le x < 7 $.

Ответ: $ x \in [4.2; 7) $.

б) $ \log_{\sqrt{2}+1}(2x + 7) > \log_{\sqrt{2}+1}(19 - 6x) $

Основание логарифма $ a = \sqrt{2}+1 $. Поскольку $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то $ a \approx 2.414 $, что больше 1. Логарифмическая функция с основанием больше 1 является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется.

Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 2x + 7 > 19 - 6x \\ 19 - 6x > 0 \end{cases} $

(Условие $ 2x+7 > 0 $ выполняется автоматически, так как из системы следует, что $ 2x+7 $ больше положительного числа $ 19-6x $).

Решим первое неравенство:

$ 2x + 6x > 19 - 7 $

$ 8x > 12 $

$ x > \frac{12}{8} \Rightarrow x > \frac{3}{2} \Rightarrow x > 1.5 $

Решим второе неравенство:

$ 19 > 6x $

$ x < \frac{19}{6} $

Объединяя решения, получаем интервал $ 1.5 < x < \frac{19}{6} $.

Ответ: $ x \in (1.5; \frac{19}{6}) $.

в) $ \log_{\pi}(5x - 15) \ge \log_{\pi}(15 - 3x) $

Основание логарифма $ a = \pi \approx 3.14159... $. Так как $ a > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется.

Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 5x - 15 \ge 15 - 3x \\ 15 - 3x > 0 \end{cases} $

(Условие $ 5x-15 > 0 $ следует из того, что $ 5x-15 $ больше или равно положительному числу $ 15-3x $).

Решим первое неравенство:

$ 5x + 3x \ge 15 + 15 $

$ 8x \ge 30 $

$ x \ge \frac{30}{8} \Rightarrow x \ge \frac{15}{4} \Rightarrow x \ge 3.75 $

Решим второе неравенство:

$ 15 > 3x $

$ 5 > x $, или $ x < 5 $

Пересечение решений дает итоговый полуинтервал: $ 3.75 \le x < 5 $.

Ответ: $ x \in [3.75; 5) $.

г) $ \log_{2-\sqrt{3}}(4x + 17) < \log_{2-\sqrt{3}}(25 - 5x) $

Основание логарифма $ a = 2-\sqrt{3} $. Оценим его значение. Так как $ 1^2 < (\sqrt{3})^2 < 2^2 $, то $ 1 < \sqrt{3} < 2 $. Тогда $ -2 < -\sqrt{3} < -1 $. Прибавив 2, получаем $ 0 < 2-\sqrt{3} < 1 $. Основание логарифма находится в интервале $ (0; 1) $, значит, логарифмическая функция убывающая. Знак неравенства меняется на противоположный.

Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 4x + 17 > 25 - 5x \\ 25 - 5x > 0 \end{cases} $

(Условие $ 4x+17 > 0 $ выполняется автоматически).

Решим первое неравенство:

$ 4x + 5x > 25 - 17 $

$ 9x > 8 $

$ x > \frac{8}{9} $

Решим второе неравенство:

$ 25 > 5x $

$ 5 > x $, или $ x < 5 $

Объединяя решения, получаем интервал $ \frac{8}{9} < x < 5 $.

Ответ: $ x \in (\frac{8}{9}; 5) $.