Номер 18.12, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.12, страница 112.

18.12. a) $\log_{\frac{1}{3}} \frac{3x - 2}{2x - 3} > -1;$

в) $\log_6 \frac{7x - 4}{x + 2} \le 0;$

б) $\log_5 (2\sqrt[3]{x^2} - 3\sqrt[3]{x}) < 1;$

г) $\log_{0,1} (7x^2 - x^4) > -1.$

а) $ \log_{\frac{1}{3}} \frac{3x-2}{2x-3} > -1 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$ \frac{3x-2}{2x-3} > 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Находим нули числителя и знаменателя:

$3x-2=0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$

$2x-3=0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$

Отмечаем точки $2/3$ и $3/2$ на числовой прямой и определяем знаки дроби на интервалах. Неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.

• При $x < 2/3$, оба отрицательны, дробь положительна.
• При $2/3 < x < 3/2$, числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.
• При $x > 3/2$, оба положительны, дробь положительна.

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$.

2. Решаем само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $1/3$:

$ -1 = \log_{\frac{1}{3}} ((\frac{1}{3})^{-1}) = \log_{\frac{1}{3}} 3 $

Неравенство принимает вид:

$ \log_{\frac{1}{3}} \frac{3x-2}{2x-3} > \log_{\frac{1}{3}} 3 $

Так как основание логарифма $a = 1/3$ находится в интервале $(0; 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$ \frac{3x-2}{2x-3} < 3 $

3. Решаем полученное рациональное неравенство:

$ \frac{3x-2}{2x-3} - 3 < 0 \Rightarrow \frac{3x-2 - 3(2x-3)}{2x-3} < 0 \Rightarrow \frac{3x-2 - 6x+9}{2x-3} < 0 \Rightarrow \frac{-3x+7}{2x-3} < 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$ \frac{3x-7}{2x-3} > 0 $

Решая это неравенство методом интервалов (нули: $x=7/3$ и $x=3/2$), получаем: $x \in (-\infty; \frac{3}{2}) \cup (\frac{7}{3}; +\infty)$.

4. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

Решение: $x \in (-\infty; 3/2) \cup (7/3; +\infty)$

ОДЗ: $x \in (-\infty; 2/3) \cup (3/2; +\infty)$

Пересечение этих двух множеств: $(-\infty; 2/3) \cup (7/3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (\frac{7}{3}; +\infty)$.

---

б) $ \log_5 (2\sqrt[3]{x^2} - 3\sqrt[3]{x}) < 1 $

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положителен:

$ 2\sqrt[3]{x^2} - 3\sqrt[3]{x} > 0 $

Введем замену $t = \sqrt[3]{x}$. Неравенство принимает вид:

$ 2t^2 - 3t > 0 \Rightarrow t(2t-3) > 0 $

Решением этого квадратного неравенства являются интервалы $t < 0$ или $t > 3/2$.

Возвращаемся к замене:

$ \sqrt[3]{x} < 0 \Rightarrow x < 0 $

$ \sqrt[3]{x} > 3/2 \Rightarrow x > (\frac{3}{2})^3 \Rightarrow x > \frac{27}{8} $

ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{27}{8}; +\infty)$.

2. Решаем основное неравенство. Представим 1 как логарифм по основанию 5: $1 = \log_5 5$.

$ \log_5 (2\sqrt[3]{x^2} - 3\sqrt[3]{x}) < \log_5 5 $

Основание логарифма $a=5 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:

$ 2\sqrt[3]{x^2} - 3\sqrt[3]{x} < 5 \Rightarrow 2\sqrt[3]{x^2} - 3\sqrt[3]{x} - 5 < 0 $

3. Снова используем замену $t = \sqrt[3]{x}$:

$ 2t^2 - 3t - 5 < 0 $

Находим корни квадратного трехчлена $2t^2 - 3t - 5 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$ t_1 = \frac{3-7}{4} = -1 $, $ t_2 = \frac{3+7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} $

Решением неравенства является интервал между корнями: $-1 < t < 5/2$.

4. Возвращаемся к $x$:

$ -1 < \sqrt[3]{x} < \frac{5}{2} $

Возводим все части в куб: $(-1)^3 < x < (\frac{5}{2})^3 \Rightarrow -1 < x < \frac{125}{8}$.

5. Находим пересечение решения с ОДЗ:

Решение: $x \in (-1; \frac{125}{8})$

ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{27}{8}; +\infty)$

Пересечение: $x \in (-1; 0) \cup (\frac{27}{8}; \frac{125}{8})$.

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (\frac{27}{8}; \frac{125}{8})$.

---

в) $ \log_6 \frac{7x-4}{x+2} \le 0 $

1. Найдем ОДЗ:

$ \frac{7x-4}{x+2} > 0 $

Методом интервалов (нули: $x=4/7, x=-2$) находим ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (\frac{4}{7}; +\infty)$.

2. Решаем неравенство. Представим 0 как логарифм по основанию 6: $0 = \log_6 1$.

$ \log_6 \frac{7x-4}{x+2} \le \log_6 1 $

Основание $a=6 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$ \frac{7x-4}{x+2} \le 1 $

3. Решаем рациональное неравенство:

$ \frac{7x-4}{x+2} - 1 \le 0 \Rightarrow \frac{7x-4 - (x+2)}{x+2} \le 0 \Rightarrow \frac{6x-6}{x+2} \le 0 \Rightarrow \frac{6(x-1)}{x+2} \le 0 $

Методом интервалов (нули: $x=1, x=-2$) получаем решение: $x \in (-2; 1]$.

4. Находим пересечение решения с ОДЗ:

Решение: $x \in (-2; 1]$

ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (4/7; +\infty)$

Пересечение этих множеств дает интервал $(\frac{4}{7}; 1]$.

Ответ: $x \in (\frac{4}{7}; 1]$.

---

г) $ \log_{0.1} (7x^2 - x^4) > -1 $

1. Найдем ОДЗ:

$ 7x^2 - x^4 > 0 \Rightarrow x^2(7-x^2) > 0 $

Поскольку $x^2 \ge 0$, это неравенство эквивалентно системе:

$ \begin{cases} x^2 \ne 0 \\ 7 - x^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ne 0 \\ x^2 < 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ne 0 \\ -\sqrt{7} < x < \sqrt{7} \end{cases} $

ОДЗ: $x \in (-\sqrt{7}; 0) \cup (0; \sqrt{7})$.

2. Решаем неравенство. Представим -1 как логарифм: $-1 = \log_{0.1}(0.1^{-1}) = \log_{0.1} 10$.

$ \log_{0.1} (7x^2 - x^4) > \log_{0.1} 10 $

Основание $a=0.1 \in (0; 1)$, функция убывающая, знак неравенства меняется:

$ 7x^2 - x^4 < 10 \Rightarrow x^4 - 7x^2 + 10 > 0 $

3. Решаем биквадратное неравенство. Пусть $t = x^2$ (где $t \ge 0$):

$ t^2 - 7t + 10 > 0 $

Корни уравнения $t^2 - 7t + 10 = 0$ равны $t_1=2$ и $t_2=5$.

Решением неравенства является объединение интервалов $t < 2$ или $t > 5$.

4. Возвращаемся к $x$:

Случай 1: $t < 2 \Rightarrow x^2 < 2 \Rightarrow -\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$.

Случай 2: $t > 5 \Rightarrow x^2 > 5 \Rightarrow x < -\sqrt{5}$ или $x > \sqrt{5}$.

Общее решение этого шага: $x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$.

5. Находим пересечение с ОДЗ: $x \in (-\sqrt{7}; 0) \cup (0; \sqrt{7})$.

Учтем, что $\sqrt{2} \approx 1.41$, $\sqrt{5} \approx 2.24$, $\sqrt{7} \approx 2.65$.

• Пересечение $(-\sqrt{7}; 0) \cup (0; \sqrt{7})$ с $(-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$ дает $(-\sqrt{7}; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; \sqrt{7})$.
• Пересечение $(-\sqrt{7}; 0) \cup (0; \sqrt{7})$ с $(-\sqrt{2}; \sqrt{2})$ дает $(-\sqrt{2}; 0) \cup (0; \sqrt{2})$.

Объединяя эти результаты, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\sqrt{7}; -\sqrt{5}) \cup (-\sqrt{2}; 0) \cup (0; \sqrt{2}) \cup (\sqrt{5}; \sqrt{7})$.