Номер 18.16, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.16, страница 112.

18.16. a) $\log_2(x^2 + 2x + 4) + \log_2(x - 2) < \log_2(x^3 - x^2 + 4x - 3);$

б) $\lg(x^3 - x^2 - x + 20) \ge \lg(x + 2) + \lg(x^2 - 2x + 4).$

а) $\log_2(x^2 + 2x + 4) + \log_2(x - 2) < \log_2(x^3 - x^2 + 4x - 3)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x^2 + 2x + 4 > 0 \\ x - 2 > 0 \\ x^3 - x^2 + 4x - 3 > 0 \end{cases}$

Рассмотрим каждое неравенство системы:

• Для $x^2 + 2x + 4 > 0$: дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), то выражение $x^2 + 2x + 4$ положительно при любых $x$.
• Для $x - 2 > 0$: получаем $x > 2$.
• Для $x^3 - x^2 + 4x - 3 > 0$: проверим это условие с учетом того, что $x > 2$. Пусть $f(x) = x^3 - x^2 + 4x - 3$. Найдем производную: $f'(x) = 3x^2 - 2x + 4$. Дискриминант для $f'(x)$ равен $D_{f'} = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 4 - 48 = -44 < 0$. Так как $D_{f'} < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, $f'(x) > 0$ для всех $x$. Следовательно, функция $f(x)$ является возрастающей на всей числовой оси. Найдем значение функции на границе промежутка $x>2$: $f(2) = 2^3 - 2^2 + 4 \cdot 2 - 3 = 8 - 4 + 8 - 3 = 9 > 0$. Так как функция возрастает, то для всех $x > 2$ будет выполняться $f(x) > f(2) > 0$.

Таким образом, ОДЗ неравенства: $x > 2$.

2. Упростим исходное неравенство, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_2((x^2 + 2x + 4)(x - 2)) < \log_2(x^3 - x^2 + 4x - 3)$

Заметим, что выражение $(x^2 + 2x + 4)(x - 2)$ является формулой разности кубов $x^3 - 2^3 = x^3 - 8$.

Неравенство принимает вид:

$\log_2(x^3 - 8) < \log_2(x^3 - x^2 + 4x - 3)$

3. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция логарифма является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для аргументов, сохранив знак неравенства:

$x^3 - 8 < x^3 - x^2 + 4x - 3$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - 4x - 8 + 3 < 0$

$x^2 - 4x - 5 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - 4x - 5$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 4x - 5 < 0$ выполняется между корнями: $-1 < x < 5$.

4. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} -1 < x < 5 \\ x > 2 \end{cases}$

Пересечением является интервал $(2; 5)$.

Ответ: $x \in (2; 5)$.

б) $\lg(x^3 - x^2 - x + 20) \ge \lg(x + 2) + \lg(x^2 - 2x + 4)$

1. Преобразуем правую часть неравенства, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\lg(x^3 - x^2 - x + 20) \ge \lg((x + 2)(x^2 - 2x + 4))$

Выражение $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ является формулой суммы кубов $x^3 + 2^3 = x^3 + 8$.

Неравенство принимает вид:

$\lg(x^3 - x^2 - x + 20) \ge \lg(x^3 + 8)$

2. Данное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^3 + 8 > 0 \\ x^3 - x^2 - x + 20 \ge x^3 + 8 \end{cases}$

Условие $x^3 - x^2 - x + 20 > 0$ здесь избыточно, так как из второго неравенства системы следует, что левая часть больше или равна правой, а правая часть, в свою очередь, должна быть строго больше нуля по первому неравенству.

Также нужно учесть ОДЗ исходного неравенства: $x+2>0$ и $x^2-2x+4>0$.

• $x^2 - 2x + 4 > 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12 < 0$. Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, это выражение положительно при любых $x$.
• Условие $x^3+8 > 0$ равносильно $(x+2)(x^2-2x+4)>0$. Так как второй множитель всегда положителен, то это неравенство сводится к $x+2 > 0$, что дает $x > -2$.

Итак, решаем систему:

$\begin{cases} x > -2 \\ x^3 - x^2 - x + 20 \ge x^3 + 8 \end{cases}$

3. Решим второе неравенство системы:

$-x^2 - x + 20 \ge 8$

$-x^2 - x + 12 \ge 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$x^2 + x - 12 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.

Парабола $y = x^2 + x - 12$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + x - 12 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $-4 \le x \le 3$.

4. Найдем пересечение полученного решения с условием $x > -2$:

$\begin{cases} -4 \le x \le 3 \\ x > -2 \end{cases}$

Пересечением является полуинтервал $(-2; 3]$.

Ответ: $x \in (-2; 3]$.