Номер 18.13, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.13, страница 112.

18.13. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:

а) $ \log_{12}(x^2 - x) \le 1; $

б) $ \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 10x + 9) \ge 0; $

в) $ \log_9(x^2 - 8x) \le 1; $

г) $ \log_{0,3}(-x^2 + 7x - 5) < 0? $

а) $ \log_{12}(x^2 - x) \le 1 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $ x^2 - x > 0 $
$ x(x - 1) > 0 $
Решением этого неравенства является объединение интервалов $ x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $.

2. Решим основное логарифмическое неравенство. Так как основание логарифма $ 12 > 1 $, функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется: $ x^2 - x \le 12^1 $
$ x^2 - x - 12 \le 0 $

3. Решим полученное квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $ x^2 - x - 12 = 0 $. По теореме Виета, корни равны $ x_1 = -3 $ и $ x_2 = 4 $. Так как парабола $ y = x^2 - x - 12 $ ветвями вверх, неравенство $ \le 0 $ выполняется между корнями, включая их: $ x \in [-3, 4] $.

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ: $ ([-3, 4]) \cap ((-\infty, 0) \cup (1, \infty)) = [-3, 0) \cup (1, 4] $.

5. Перечислим целочисленные решения из полученных интервалов: Из интервала $ [-3, 0) $: -3, -2, -1. (3 числа) Из интервала $ (1, 4] $: 2, 3, 4. (3 числа) Всего целочисленных решений: $ 3 + 3 = 6 $.

Ответ: 6

б) $ \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 10x + 9) \ge 0 $

1. ОДЗ: $ x^2 - 10x + 9 > 0 $
$ (x - 1)(x - 9) > 0 $
$ x \in (-\infty, 1) \cup (9, \infty) $.

2. Решим основное неравенство. Так как основание логарифма $ \frac{1}{2} < 1 $, функция является убывающей, и знак неравенства меняется на противоположный: $ x^2 - 10x + 9 \le (\frac{1}{2})^0 $
$ x^2 - 10x + 9 \le 1 $
$ x^2 - 10x + 8 \le 0 $

3. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $ x^2 - 10x + 8 = 0 $: $ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 8}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{68}}{2} = 5 \pm \sqrt{17} $. Решением неравенства является отрезок $ [5 - \sqrt{17}, 5 + \sqrt{17}] $.

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ. Оценим значения корней: $ 4 < \sqrt{17} < 5 $. $ 5 - \sqrt{17} \approx 5 - 4.12 = 0.88 $. $ 5 + \sqrt{17} \approx 5 + 4.12 = 9.12 $. Итак, решение $ x \in [5 - \sqrt{17}, 5 + \sqrt{17}] \approx [0.88, 9.12] $. Пересечение с ОДЗ $ (-\infty, 1) \cup (9, \infty) $: $ x \in [5 - \sqrt{17}, 1) \cup (9, 5 + \sqrt{17}] $.

5. Найдем целочисленные решения. Интервал $ [5 - \sqrt{17}, 1) \approx [0.88, 1) $ не содержит целых чисел. Интервал $ (9, 5 + \sqrt{17}] \approx (9, 9.12] $ также не содержит целых чисел. Следовательно, целочисленных решений нет.

Ответ: 0

в) $ \log_9(x^2 - 8x) \le 1 $

1. ОДЗ: $ x^2 - 8x > 0 $
$ x(x - 8) > 0 $
$ x \in (-\infty, 0) \cup (8, \infty) $.

2. Решим неравенство. Основание $ 9 > 1 $, знак сохраняется: $ x^2 - 8x \le 9^1 $
$ x^2 - 8x - 9 \le 0 $

3. Найдем корни уравнения $ x^2 - 8x - 9 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = -1 $ и $ x_2 = 9 $. Решение квадратного неравенства: $ x \in [-1, 9] $.

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ: $ ([-1, 9]) \cap ((-\infty, 0) \cup (8, \infty)) = [-1, 0) \cup (8, 9] $.

5. Целочисленные решения: Из интервала $ [-1, 0) $ — число -1. Из интервала $ (8, 9] $ — число 9. Всего 2 целочисленных решения.

Ответ: 2

г) $ \log_{0.3}(-x^2 + 7x - 5) < 0 $

1. ОДЗ: $ -x^2 + 7x - 5 > 0 $
$ x^2 - 7x + 5 < 0 $
Корни уравнения $ x^2 - 7x + 5 = 0 $: $ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 20}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{2} $. ОДЗ: $ x \in (\frac{7 - \sqrt{29}}{2}, \frac{7 + \sqrt{29}}{2}) $.

2. Решим неравенство. Основание $ 0.3 < 1 $, знак меняется на противоположный: $ -x^2 + 7x - 5 > (0.3)^0 $
$ -x^2 + 7x - 5 > 1 $
$ -x^2 + 7x - 6 > 0 $
$ x^2 - 7x + 6 < 0 $

3. Решим квадратное неравенство $ x^2 - 7x + 6 < 0 $. Корни уравнения $ x^2 - 7x + 6 = 0 $: $ x_1 = 1, x_2 = 6 $. Решение: $ x \in (1, 6) $.

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ. Оценим границы ОДЗ: $ 5 < \sqrt{29} < 6 $. $ \frac{7 - \sqrt{29}}{2} \approx \frac{7 - 5.4}{2} = 0.8 $. $ \frac{7 + \sqrt{29}}{2} \approx \frac{7 + 5.4}{2} = 6.2 $. ОДЗ примерно $ (0.8, 6.2) $. Интервал $ (1, 6) $ полностью входит в ОДЗ, поэтому он и является решением.

5. Целочисленные решения в интервале $ (1, 6) $: 2, 3, 4, 5. Всего 4 целочисленных решения.

Ответ: 4