Номер 18.10, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.10, страница 111.

18.10. a) $log_2 \frac{4 - x}{x - 2} \le log_2 \frac{1}{x - 2};$

б) $log_{0,5} \frac{7}{3x - 2} > log_{0,5} \frac{4x}{3x - 2}.$

а)

Исходное неравенство: $ \log_2 \frac{4-x}{x-2} \le \log_2 \frac{1}{x-2} $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} \frac{4-x}{x-2} > 0 \\ \frac{1}{x-2} > 0 \end{cases} $

Из второго неравенства системы следует, что знаменатель должен быть положителен: $ x - 2 > 0 $, откуда $ x > 2 $.

Теперь рассмотрим первое неравенство. Поскольку мы уже знаем, что знаменатель $ x-2 $ положителен, для выполнения первого неравенства необходимо, чтобы его числитель $ 4 - x $ также был положителен: $ 4 - x > 0 $, откуда $ x < 4 $.

Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: $ 2 < x < 4 $, что в виде интервала записывается как $ x \in (2; 4) $.

Далее решаем основное неравенство. Основание логарифма равно 2, что больше 1. Это означает, что логарифмическая функция $ y=\log_2(t) $ является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов, сохраняя знак неравенства:

$ \frac{4-x}{x-2} \le \frac{1}{x-2} $

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{4-x}{x-2} - \frac{1}{x-2} \le 0 $

$ \frac{4-x-1}{x-2} \le 0 $

$ \frac{3-x}{x-2} \le 0 $

Для решения этого рационального неравенства применим метод интервалов. Нули числителя: $ 3-x=0 \Rightarrow x=3 $. Нуль знаменателя: $ x-2=0 \Rightarrow x=2 $. Нанесем эти точки на числовую прямую. Точка $ x=3 $ включается в решение (неравенство нестрогое), а точка $ x=2 $ исключается (знаменатель не может быть равен нулю).

Определим знаки выражения $ \frac{3-x}{x-2} $ на полученных интервалах:

• на интервале $ (-\infty; 2) $ выражение отрицательно;
• на интервале $ (2; 3] $ выражение положительно;
• на интервале $ [3; +\infty) $ выражение отрицательно.

Решением неравенства $ \frac{3-x}{x-2} \le 0 $ является объединение интервалов $ (-\infty; 2) \cup [3; +\infty) $.

Наконец, найдем пересечение этого решения с ОДЗ $ x \in (2; 4) $.

$ ((-\infty; 2) \cup [3; +\infty)) \cap (2; 4) = [3; 4) $.

Ответ: $ [3; 4) $.

б)

Исходное неравенство: $ \log_{0.5} \frac{7}{3x-2} > \log_{0.5} \frac{4x}{3x-2} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:

$ \begin{cases} \frac{7}{3x-2} > 0 \\ \frac{4x}{3x-2} > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства, так как числитель $ 7 > 0 $, следует, что и знаменатель должен быть положителен: $ 3x - 2 > 0 $, откуда $ x > \frac{2}{3} $.

Подставим это условие во второе неравенство. Зная, что знаменатель $ 3x-2 $ положителен, для выполнения второго неравенства требуем, чтобы числитель $ 4x $ также был положителен: $ 4x > 0 $, откуда $ x > 0 $.

Пересечение условий $ x > \frac{2}{3} $ и $ x > 0 $ дает нам ОДЗ: $ x > \frac{2}{3} $, или $ x \in (\frac{2}{3}; +\infty) $.

Теперь решим само неравенство. Основание логарифма равно 0.5, что находится в интервале $ (0; 1) $. Это означает, что логарифмическая функция $ y=\log_{0.5}(t) $ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$ \frac{7}{3x-2} < \frac{4x}{3x-2} $

Перенесем все в левую часть:

$ \frac{7}{3x-2} - \frac{4x}{3x-2} < 0 $

$ \frac{7-4x}{3x-2} < 0 $

Решим полученное неравенство методом интервалов. Нули числителя: $ 7-4x=0 \Rightarrow x=\frac{7}{4} $. Нуль знаменателя: $ 3x-2=0 \Rightarrow x=\frac{2}{3} $. Обе точки на числовой прямой будут выколотыми, так как неравенство строгое.

Определим знаки выражения $ \frac{7-4x}{3x-2} $ на интервалах:

• на интервале $ (-\infty; \frac{2}{3}) $ выражение отрицательно;
• на интервале $ (\frac{2}{3}; \frac{7}{4}) $ выражение положительно;
• на интервале $ (\frac{7}{4}; +\infty) $ выражение отрицательно.

Решением неравенства $ \frac{7-4x}{3x-2} < 0 $ является объединение интервалов $ (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (\frac{7}{4}; +\infty) $.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $ x \in (\frac{2}{3}; +\infty) $.

$ ((-\infty; \frac{2}{3}) \cup (\frac{7}{4}; +\infty)) \cap (\frac{2}{3}; +\infty) = (\frac{7}{4}; +\infty) $.

Ответ: $ (\frac{7}{4}; +\infty) $.