Номер 18.4, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.4, страница 111.

18.4. a) $\log_5 x > \log_5 (3x - 4);$

Б) $\log_{0.6} (2x - 1) < \log_{0.6} x;$

В) $\log_{\frac{1}{3}} (5x - 9) \ge \log_{\frac{1}{3}} 4x;$

Г) $\log_3 (8 - 6x) \le \log_3 2x.$

а) Исходное неравенство: $\log_{5} x > \log_{5} (3x - 4)$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которой все выражения под знаком логарифма положительны. Для этого решим систему неравенств:
$\begin{cases} x > 0 \\ 3x - 4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ 3x > 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > \frac{4}{3} \end{cases}$.
Пересечением этих условий является $x > \frac{4}{3}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{4}{3}; +\infty)$.
Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется.
$x > 3x - 4$
$4 > 3x - x$
$4 > 2x$
$2 > x$, то есть $x < 2$.
Теперь найдем пересечение полученного решения $x < 2$ с ОДЗ $x > \frac{4}{3}$.
$\begin{cases} x < 2 \\ x > \frac{4}{3} \end{cases}$, что соответствует интервалу $\frac{4}{3} < x < 2$.
Ответ: $(\frac{4}{3}; 2)$.

б) Исходное неравенство: $\log_{0,6} (2x - 1) < \log_{0,6} x$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x > 1 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ x > 0 \end{cases}$.
Пересечением является $x > \frac{1}{2}$. ОДЗ: $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.
Основание логарифма $0,6$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
$2x - 1 > x$
$2x - x > 1$
$x > 1$.
Учитывая ОДЗ $x > \frac{1}{2}$ и полученное решение $x > 1$, находим их пересечение.
$\begin{cases} x > 1 \\ x > \frac{1}{2} \end{cases}$, что дает $x > 1$.
Ответ: $(1; +\infty)$.

в) Исходное неравенство: $\log_{\frac{1}{3}} (5x - 9) \geq \log_{\frac{1}{3}} (4x)$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 5x - 9 > 0 \\ 4x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5x > 9 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{9}{5} \\ x > 0 \end{cases}$.
Пересечением является $x > \frac{9}{5}$. ОДЗ: $x \in (\frac{9}{5}; +\infty)$.
Основание логарифма $\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
$5x - 9 \leq 4x$
$5x - 4x \leq 9$
$x \leq 9$.
Найдем пересечение решения $x \leq 9$ с ОДЗ $x > \frac{9}{5}$.
$\begin{cases} x \leq 9 \\ x > \frac{9}{5} \end{cases}$, что соответствует интервалу $\frac{9}{5} < x \leq 9$.
Ответ: $(\frac{9}{5}; 9]$.

г) Исходное неравенство: $\log_{3} (8 - 6x) \leq \log_{3} (2x)$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 8 - 6x > 0 \\ 2x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 8 > 6x \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < \frac{8}{6} \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < \frac{4}{3} \\ x > 0 \end{cases}$.
Пересечением является $0 < x < \frac{4}{3}$. ОДЗ: $x \in (0; \frac{4}{3})$.
Основание логарифма $3 > 1$, поэтому логарифмическая функция является возрастающей, и при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется.
$8 - 6x \leq 2x$
$8 \leq 2x + 6x$
$8 \leq 8x$
$1 \leq x$, или $x \geq 1$.
Найдем пересечение решения $x \geq 1$ с ОДЗ $0 < x < \frac{4}{3}$.
$\begin{cases} x \geq 1 \\ 0 < x < \frac{4}{3} \end{cases}$, что соответствует интервалу $1 \leq x < \frac{4}{3}$.
Ответ: $[1; \frac{4}{3})$.