Номер 18.5, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.5, страница 111.

18.5. a) $\log_2(5x - 9) \le \log_2(3x + 1);$

б) $\log_{0.4}(12x + 2) \ge \log_{0.4}(10x + 16);$

в) $\log_{\frac{2}{3}}(-x) > \log_{\frac{2}{3}}(4 - 2x);$

г) $\log_{2.5}(6 - x) < \log_{2.5}(4 - 3x).$

а) $\log_2(5x - 9) \le \log_2(3x + 1)$

Данное логарифмическое неравенство равносильно системе неравенств. Во-первых, аргументы логарифмов должны быть строго положительными (область допустимых значений, ОДЗ):

$\begin{cases} 5x - 9 > 0 \\ 3x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 5x > 9 \\ 3x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{9}{5} \\ x > -\frac{1}{3} \end{cases} \implies x > 1.8$

Во-вторых, так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2(t)$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$5x - 9 \le 3x + 1$

$5x - 3x \le 1 + 9$

$2x \le 10$

$x \le 5$