Номер 18.3, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.3, страница 110.

18.3. a) $\log_3 x > \log_3 72 - \log_3 8;$

б) $3 \log_{\frac{1}{7}} x < \log_{\frac{1}{7}} 9 + \log_{\frac{1}{7}} 3;$

в) $\log_5 x - \log_5 35 \le \log_5 \frac{1}{7};$

г) $4 \log_{0,6} x \ge \log_{0,6} 8 + \log_{0,6} 2.$

а) $\log_{3}x > \log_{3}72 - \log_{3}8$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Используем свойство разности логарифмов $\log_{a}b - \log_{a}c = \log_{a}\frac{b}{c}$:
$\log_{3}72 - \log_{3}8 = \log_{3}\frac{72}{8} = \log_{3}9$
Неравенство принимает вид:
$\log_{3}x > \log_{3}9$
Так как основание логарифма $3 > 1$, функция $y = \log_{3}t$ является возрастающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:
$x > 9$
Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем, что $x > 9$.
Ответ: $x \in (9; +\infty)$

б) $3\log_{\frac{1}{7}}x < \log_{\frac{1}{7}}9 + \log_{\frac{1}{7}}3$
ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем обе части неравенства, используя свойства логарифмов $n\log_{a}b = \log_{a}b^n$ и $\log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(bc)$:
Левая часть: $3\log_{\frac{1}{7}}x = \log_{\frac{1}{7}}x^3$
Правая часть: $\log_{\frac{1}{7}}9 + \log_{\frac{1}{7}}3 = \log_{\frac{1}{7}}(9 \cdot 3) = \log_{\frac{1}{7}}27$
Неравенство принимает вид:
$\log_{\frac{1}{7}}x^3 < \log_{\frac{1}{7}}27$
Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{7} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{7}}t$ является убывающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$x^3 > 27$
$x > \sqrt[3]{27}$
$x > 3$
Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем, что $x > 3$.
Ответ: $x \in (3; +\infty)$

в) $\log_{5}x - \log_{5}35 \le \log_{5}\frac{1}{7}$
ОДЗ: $x > 0$.
Используем свойство разности логарифмов $\log_{a}b - \log_{a}c = \log_{a}\frac{b}{c}$:
$\log_{5}\frac{x}{35} \le \log_{5}\frac{1}{7}$
Так как основание логарифма $5 > 1$, функция $y = \log_{5}t$ является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:
$\frac{x}{35} \le \frac{1}{7}$
Умножим обе части на 35:
$x \le \frac{35}{7}$
$x \le 5$
Объединяя с ОДЗ ($x > 0$), получаем решение: $0 < x \le 5$.
Ответ: $x \in (0; 5]$

г) $4\log_{0,6}x \ge \log_{0,6}8 + \log_{0,6}2$
ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем обе части неравенства, используя свойства логарифмов $n\log_{a}b = \log_{a}b^n$ и $\log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(bc)$:
Левая часть: $4\log_{0,6}x = \log_{0,6}x^4$
Правая часть: $\log_{0,6}8 + \log_{0,6}2 = \log_{0,6}(8 \cdot 2) = \log_{0,6}16$
Неравенство принимает вид:
$\log_{0,6}x^4 \ge \log_{0,6}16$
Так как основание логарифма $0 < 0,6 < 1$, функция $y = \log_{0,6}t$ является убывающей. Знак неравенства меняется на противоположный:
$x^4 \le 16$
$x^4 - 16 \le 0$
$(x^2 - 4)(x^2 + 4) \le 0$
Поскольку $x^2+4$ всегда больше нуля, то неравенство сводится к:
$x^2 - 4 \le 0$
$x^2 \le 4$
$-2 \le x \le 2$
Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем решение: $0 < x \le 2$.
Ответ: $x \in (0; 2]$