Номер 18.8, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.8, страница 111.

Решите неравенство:

18.8. a) $log_3 (x^2 + 6) < log_3 5x;$

б) $log_{0.6} (6x - x^2) > log_{0.6} (-8 - x);$

в) $lg (x^2 - 8) \leq lg (2 - 9x);$

г) $log_{\sqrt{2}} (x^2 + 10x) \geq log_{\sqrt{2}} (x - 14).$

а) $\log_3(x^2 + 6) < \log_3 5x$

Данное логарифмическое неравенство равносильно системе неравенств. Во-первых, аргументы логарифмов должны быть строго положительными (область допустимых значений, ОДЗ):
$ \begin{cases} x^2 + 6 > 0 \\ 5x > 0 \end{cases} $
Первое неравенство, $x^2 + 6 > 0$, выполняется для любого действительного значения $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 6 \ge 6$.
Из второго неравенства, $5x > 0$, получаем $x > 0$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$x^2 + 6 < 5x$
$x^2 - 5x + 6 < 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 5x + 6$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 5x + 6 < 0$ выполняется между корнями: $2 < x < 3$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 0 \\ 2 < x < 3 \end{cases} $
Пересечением является интервал $(2, 3)$.
Ответ: $(2, 3)$.

б) $\log_{0.6}(6x - x^2) > \log_{0.6}(-8 - x)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), потребовав, чтобы аргументы обоих логарифмов были строго положительными:
$ \begin{cases} 6x - x^2 > 0 \\ -8 - x > 0 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $x(6 - x) > 0$. Корни $x=0$ и $x=6$. Ветви параболы $y = 6x - x^2$ направлены вниз, поэтому неравенство выполняется между корнями: $0 < x < 6$.
Решим второе неравенство: $-8 > x$, или $x < -8$.
Найдем пересечение решений системы:
$ \begin{cases} 0 < x < 6 \\ x < -8 \end{cases} $
Данная система не имеет решений, так как множества $(0, 6)$ и $(-\infty, -8)$ не пересекаются. Следовательно, ОДЗ является пустым множеством.

Поскольку область допустимых значений пуста, исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

в) $\lg(x^2 - 8) \le \lg(2 - 9x)$

Найдем ОДЗ. Аргументы десятичных логарифмов должны быть положительными:
$ \begin{cases} x^2 - 8 > 0 \\ 2 - 9x > 0 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $x^2 > 8$, что дает $x < -\sqrt{8}$ или $x > \sqrt{8}$. То есть $x \in (-\infty, -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}, +\infty)$.
Решим второе неравенство: $2 > 9x$, что дает $x < \frac{2}{9}$.
Найдем пересечение этих условий. Так как $2\sqrt{2} \approx 2.828$, а $\frac{2}{9} \approx 0.222$, то условие $x > 2\sqrt{2}$ несовместимо с $x < \frac{2}{9}$. Остается $x < -2\sqrt{2}$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, -2\sqrt{2})$.

Основание логарифма $10 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 8 \le 2 - 9x$
$x^2 + 9x - 10 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 9x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -10$ и $x_2 = 1$.
Ветви параболы $y = x^2 + 9x - 10$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями: $-10 \le x \le 1$.

Учтем ОДЗ, найдя пересечение полученного решения с ОДЗ:
$ \begin{cases} x < -2\sqrt{2} \\ -10 \le x \le 1 \end{cases} $
Так как $-10 < -2\sqrt{2} \approx -2.828 < 1$, пересечением является полуинтервал $[-10, -2\sqrt{2})$.
Ответ: $[-10, -2\sqrt{2})$.

г) $\log_{\sqrt{2}}(x^2 + 10x) \ge \log_{\sqrt{2}}(x - 14)$

Найдем ОДЗ из условия положительности аргументов логарифмов:
$ \begin{cases} x^2 + 10x > 0 \\ x - 14 > 0 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $x(x + 10) > 0$. Корни $x=0$ и $x=-10$. Ветви параболы направлены вверх, решение: $x \in (-\infty, -10) \cup (0, +\infty)$.
Решим второе неравенство: $x > 14$.
Найдем пересечение решений: $(-\infty, -10) \cup (0, +\infty)$ и $(14, +\infty)$.
ОДЗ: $x \in (14, +\infty)$.

Основание логарифма $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:
$x^2 + 10x \ge x - 14$
$x^2 + 9x + 14 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 9x + 14 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -7$ и $x_2 = -2$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне отрезка между корнями: $x \le -7$ или $x \ge -2$. Решение: $x \in (-\infty, -7] \cup [-2, +\infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 14 \\ x \in (-\infty, -7] \cup [-2, +\infty) \end{cases} $
Пересечением является интервал $(14, +\infty)$.
Ответ: $(14, +\infty)$.