Номер 18.2, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.2, страница 110.

18.2. a) $log_5 (3x + 1) < 2;$

б) $log_{0,5} \frac{x}{3} \ge -2;$

в) $log_{\frac{2}{3}} \frac{x}{5} > 1;$

г) $log_{\sqrt{3}} (2x - 3) < 4.$

а) Решим логарифмическое неравенство $\log_5(3x + 1) < 2$.

1. Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$3x + 1 > 0$

$3x > -1$

$x > -\frac{1}{3}$

2. Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием, что и в левой части:

$2 = 2 \cdot \log_5(5) = \log_5(5^2) = \log_5(25)$

Неравенство принимает вид:

$\log_5(3x + 1) < \log_5(25)$

3. Так как основание логарифма $5 > 1$, функция $y = \log_5(t)$ является возрастающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$3x + 1 < 25$

$3x < 24$

$x < 8$

4. Объединим полученное решение с ОДЗ. Необходимо, чтобы выполнялись оба условия: $x > -\frac{1}{3}$ и $x < 8$.

Пересечением этих двух условий является интервал $(-\frac{1}{3}; 8)$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}; 8)$.

б) Решим неравенство $\log_{0.5} \frac{x}{3} \ge -2$.

1. Найдем ОДЗ:

$\frac{x}{3} > 0$

$x > 0$

2. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0.5:

$-2 = -2 \cdot \log_{0.5}(0.5) = \log_{0.5}((0.5)^{-2}) = \log_{0.5}((\frac{1}{2})^{-2}) = \log_{0.5}(2^2) = \log_{0.5}(4)$

Неравенство принимает вид:

$\log_{0.5} \frac{x}{3} \ge \log_{0.5}(4)$

3. Так как основание логарифма $0.5 < 1$, функция $y = \log_{0.5}(t)$ является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$\frac{x}{3} \le 4$

$x \le 12$

4. Объединим решение с ОДЗ: $x > 0$ и $x \le 12$.

Пересечением этих условий является полуинтервал $(0; 12]$.

Ответ: $x \in (0; 12]$.

в) Решим неравенство $\log_{\frac{2}{3}} \frac{x}{5} > 1$.

1. Найдем ОДЗ:

$\frac{x}{5} > 0$

$x > 0$

2. Представим 1 в виде логарифма с основанием $\frac{2}{3}$:

$1 = \log_{\frac{2}{3}}(\frac{2}{3})$

Неравенство примет вид:

$\log_{\frac{2}{3}} \frac{x}{5} > \log_{\frac{2}{3}}(\frac{2}{3})$

3. Основание логарифма $\frac{2}{3} < 1$, поэтому функция является убывающей. Знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{x}{5} < \frac{2}{3}$

Умножим обе части на 15, чтобы избавиться от дробей:

$3x < 10$

$x < \frac{10}{3}$

4. Совместим полученное решение с ОДЗ: $x > 0$ и $x < \frac{10}{3}$.

Решением является интервал $(0; \frac{10}{3})$.

Ответ: $x \in (0; \frac{10}{3})$.

г) Решим неравенство $\log_{\sqrt{3}}(2x - 3) < 4$.

1. Найдем ОДЗ:

$2x - 3 > 0$

$2x > 3$

$x > \frac{3}{2}$

2. Представим 4 в виде логарифма с основанием $\sqrt{3}$:

$4 = 4 \cdot \log_{\sqrt{3}}(\sqrt{3}) = \log_{\sqrt{3}}((\sqrt{3})^4) = \log_{\sqrt{3}}((3^{1/2})^4) = \log_{\sqrt{3}}(3^2) = \log_{\sqrt{3}}(9)$

Неравенство примет вид:

$\log_{\sqrt{3}}(2x - 3) < \log_{\sqrt{3}}(9)$

3. Основание логарифма $\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:

$2x - 3 < 9$

$2x < 12$

$x < 6$

4. Совместим решение с ОДЗ: $x > \frac{3}{2}$ и $x < 6$.

Решением является интервал $(\frac{3}{2}; 6)$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{2}; 6)$.