Номер 18.7, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.7, страница 111.

18.7. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

a) $ \log_7(6x - 9) < \log_7(2x + 3); $

б) $ \log_{\frac{1}{5}}(2 - x) \ge \log_{\frac{1}{5}}(2x + 4); $

в) $ \lg(8x - 16) < \lg(3x + 1); $

г) $ \log_{0.4}(7 - x) \ge \log_{0.4}(3x + 6). $

а) Решим неравенство $ \log_7(6x - 9) < \log_7(2x + 3) $.
1. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:
$ \begin{cases} 6x - 9 > 0 \\ 2x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 6x > 9 \\ 2x > -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{9}{6} \\ x > -\frac{3}{2} \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1.5 \\ x > -1.5 \end{cases} $
Пересечением этих условий является $ x > 1.5 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (1.5, +\infty) $.
2. Так как основание логарифма $ 7 > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$ 6x - 9 < 2x + 3 $
$ 6x - 2x < 3 + 9 $
$ 4x < 12 $
$ x < 3 $
3. Объединим полученное решение с ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 1.5 \\ x < 3 \end{cases} $
Решением неравенства является интервал $ (1.5, 3) $.
4. Наибольшее целое число, принадлежащее этому интервалу, это 2.
Ответ: 2.

б) Решим неравенство $ \log_{\frac{1}{5}}(2 - x) \ge \log_{\frac{1}{5}}(2x + 4) $.
1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} 2 - x > 0 \\ 2x + 4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ 2x > -4 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ x > -2 \end{cases} $
ОДЗ: $ x \in (-2, 2) $.
2. Так как основание логарифма $ 0 < \frac{1}{5} < 1 $, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$ 2 - x \le 2x + 4 $
$ -x - 2x \le 4 - 2 $
$ -3x \le 2 $
$ x \ge -\frac{2}{3} $
3. Объединим полученное решение с ОДЗ:
$ \begin{cases} -2 < x < 2 \\ x \ge -\frac{2}{3} \end{cases} $
Решением неравенства является полуинтервал $ [-\frac{2}{3}, 2) $.
4. Целые числа, принадлежащие этому полуинтервалу: 0, 1. Наибольшее из них — 1.
Ответ: 1.

в) Решим неравенство $ \lg(8x - 16) < \lg(3x + 1) $. ($ \lg $ — это десятичный логарифм, $ \log_{10} $)
1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} 8x - 16 > 0 \\ 3x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 8x > 16 \\ 3x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > -\frac{1}{3} \end{cases} $
ОДЗ: $ x \in (2, +\infty) $.
2. Так как основание логарифма $ 10 > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:
$ 8x - 16 < 3x + 1 $
$ 8x - 3x < 1 + 16 $
$ 5x < 17 $
$ x < \frac{17}{5} $
$ x < 3.4 $
3. Объединим полученное решение с ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 2 \\ x < 3.4 \end{cases} $
Решением неравенства является интервал $ (2, 3.4) $.
4. Наибольшее целое число, принадлежащее этому интервалу, это 3.
Ответ: 3.

г) Решим неравенство $ \log_{0.4}(7 - x) \ge \log_{0.4}(3x + 6) $.
1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} 7 - x > 0 \\ 3x + 6 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 7 \\ 3x > -6 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 7 \\ x > -2 \end{cases} $
ОДЗ: $ x \in (-2, 7) $.
2. Так как основание логарифма $ 0 < 0.4 < 1 $, логарифмическая функция является убывающей, и знак неравенства меняется на противоположный:
$ 7 - x \le 3x + 6 $
$ -x - 3x \le 6 - 7 $
$ -4x \le -1 $
$ x \ge \frac{1}{4} $
$ x \ge 0.25 $
3. Объединим полученное решение с ОДЗ:
$ \begin{cases} -2 < x < 7 \\ x \ge 0.25 \end{cases} $
Решением неравенства является полуинтервал $ [0.25, 7) $.
4. Целые числа, принадлежащие этому полуинтервалу: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наибольшее из них — 6.
Ответ: 6.