Номер 17.44, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.44, страница 110.

17.44. a) $\log_2^2(2 - x) + 2,5 \log_2 \frac{x^2 - 4x + 4}{3x - 1} = 6 - 10 \log_{16}(3x - 1);$

б) $\log_3^2(6 - x) - \log_{\frac{1}{3}}(x + 10)^4 - 4\log_3(x + 10)(x^2 - 12x + 36) = 9.$

a) $\log_2^2(2-x) + 2,5 \log_2 \frac{x^2 - 4x + 4}{3x - 1} = 6 - 10 \log_{16}(3x - 1)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$\begin{cases}2 - x > 0 \\\frac{x^2 - 4x + 4}{3x - 1} > 0 \\3x - 1 > 0\end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x < 2$.

Из третьего неравенства получаем $x > \frac{1}{3}$.

Рассмотрим второе неравенство. Числитель $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$. Поскольку $x < 2$, то $(x-2)^2 > 0$. Следовательно, для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель был положителен: $3x - 1 > 0$, что совпадает с третьим условием.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (\frac{1}{3}; 2)$.

2. Упростим уравнение, используя свойства логарифмов. Заметим, что $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 = (2-x)^2$.

Преобразуем член $2,5 \log_2 \frac{(2-x)^2}{3x - 1}$:

$2,5 \log_2 \frac{(2-x)^2}{3x - 1} = 2,5 (\log_2(2-x)^2 - \log_2(3x - 1)) = 2,5 (2\log_2(2-x) - \log_2(3x - 1))$

Мы использовали, что $2-x > 0$ на ОДЗ, поэтому $\log_2(2-x)^2 = 2\log_2(2-x)$.

Таким образом, левая часть уравнения принимает вид:

$\log_2^2(2-x) + 5\log_2(2-x) - 2,5\log_2(3x - 1)$

Преобразуем член $-10 \log_{16}(3x - 1)$ в правой части, перейдя к основанию 2:

$-10 \log_{16}(3x - 1) = -10 \frac{\log_2(3x - 1)}{\log_2 16} = -10 \frac{\log_2(3x - 1)}{4} = -2,5 \log_2(3x - 1)$

Исходное уравнение принимает вид:

$\log_2^2(2-x) + 5\log_2(2-x) - 2,5\log_2(3x - 1) = 6 - 2,5\log_2(3x - 1)$

Сократим одинаковые члены $-2,5\log_2(3x - 1)$ в обеих частях:

$\log_2^2(2-x) + 5\log_2(2-x) = 6$

$\log_2^2(2-x) + 5\log_2(2-x) - 6 = 0$

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2(2-x)$. Уравнение превращается в квадратное:

$t^2 + 5t - 6 = 0$

Решим его. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -6$.

4. Выполним обратную замену.

Случай 1: $t_1 = 1$

$\log_2(2-x) = 1$

$2-x = 2^1$

$2-x = 2$

$x = 0$

Случай 2: $t_2 = -6$

$\log_2(2-x) = -6$

$2-x = 2^{-6}$

$2-x = \frac{1}{64}$

$x = 2 - \frac{1}{64} = \frac{128-1}{64} = \frac{127}{64}$

5. Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ $x \in (\frac{1}{3}; 2)$.

Корень $x=0$ не принадлежит ОДЗ, так как $0 < \frac{1}{3}$.

Корень $x=\frac{127}{64} = 1,984375$. Этот корень принадлежит интервалу $(\frac{1}{3}; 2)$, так как $\frac{1}{3} \approx 0,333$ и $1,984375 < 2$.

Следовательно, у уравнения есть единственный корень.

Ответ: $x = \frac{127}{64}$.

б) $\log_3^2(6-x) - \log_{\frac{1}{3}}(x+10)^4 - 4\log_3(x+10)(x^2-12x+36) = 9$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases}6 - x > 0 \\(x+10)^4 > 0 \\(x+10)(x^2-12x+36) > 0\end{cases}$

Из первого неравенства: $x < 6$.

Из второго: $(x+10)^4 > 0 \implies x \neq -10$.

Рассмотрим третье неравенство. $x^2-12x+36 = (x-6)^2$. Так как $x<6$, то $(x-6)^2 > 0$. Значит, для выполнения неравенства нужно, чтобы $(x+10) > 0$, то есть $x > -10$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (-10; 6)$.

2. Упростим уравнение, используя свойства логарифмов. Заметим, что $x^2-12x+36 = (x-6)^2 = (6-x)^2$.

Преобразуем второй член:

$-\log_{\frac{1}{3}}(x+10)^4 = -\log_{3^{-1}}(x+10)^4 = -(-1)\log_3(x+10)^4 = 4\log_3|x+10|$. На ОДЗ $x > -10$, поэтому $x+10 > 0$ и $|x+10| = x+10$. Получаем $4\log_3(x+10)$.

Преобразуем третий член:

$-4\log_3((x+10)(x^2-12x+36)) = -4\log_3((x+10)(6-x)^2) = -4(\log_3(x+10) + \log_3(6-x)^2)$

На ОДЗ $x<6$, поэтому $6-x > 0$ и $\log_3(6-x)^2 = 2\log_3(6-x)$.

Продолжаем преобразование третьего члена: $-4(\log_3(x+10) + 2\log_3(6-x)) = -4\log_3(x+10) - 8\log_3(6-x)$.

Подставим преобразованные члены в исходное уравнение:

$\log_3^2(6-x) + 4\log_3(x+10) - 4\log_3(x+10) - 8\log_3(6-x) = 9$

Члены с $\log_3(x+10)$ взаимно уничтожаются:

$\log_3^2(6-x) - 8\log_3(6-x) = 9$

$\log_3^2(6-x) - 8\log_3(6-x) - 9 = 0$

3. Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_3(6-x)$. Получим квадратное уравнение:

$y^2 - 8y - 9 = 0$

Решим его. По теореме Виета, корни $y_1 = 9$ и $y_2 = -1$.

4. Выполним обратную замену.

Случай 1: $y_1 = 9$

$\log_3(6-x) = 9$

$6-x = 3^9$

$6-x = 19683$

$x = 6 - 19683 = -19677$

Случай 2: $y_2 = -1$

$\log_3(6-x) = -1$

$6-x = 3^{-1}$

$6-x = \frac{1}{3}$

$x = 6 - \frac{1}{3} = \frac{18-1}{3} = \frac{17}{3}$

5. Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ $x \in (-10; 6)$.

Корень $x = -19677$ не принадлежит ОДЗ, так как $-19677 < -10$.

Корень $x = \frac{17}{3} = 5\frac{2}{3}$. Этот корень принадлежит интервалу $(-10; 6)$.

Следовательно, у уравнения есть единственный корень.

Ответ: $x = \frac{17}{3}$.