Номер 17.43, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.43, страница 110.

Решите уравнение:

17.43. $\log_x (3x - \sqrt{18}) + \log_{x^2} (6 + x\sqrt{72} + 3x^2) = \frac{\lg 27x^2}{\lg x^2}$

Исходное уравнение:

$ \log_x(3x - \sqrt{18}) + \log_{x^2}(6 + x\sqrt{72} + 3x^2) = \frac{\lg 27x^2}{\lg x^2} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Основания логарифмов должны быть больше нуля и не равны единице:

$ x > 0 $, $ x \ne 1 $

$ x^2 > 0 \Rightarrow x \ne 0 $

$ x^2 \ne 1 \Rightarrow x \ne \pm 1 $

Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

1) $ 3x - \sqrt{18} > 0 $

$ 3x > \sqrt{9 \cdot 2} $

$ 3x > 3\sqrt{2} $

$ x > \sqrt{2} $

2) $ 6 + x\sqrt{72} + 3x^2 > 0 $

$ 3x^2 + x\sqrt{36 \cdot 2} + 6 > 0 $

$ 3x^2 + 6\sqrt{2}x + 6 > 0 $

Разделим на 3:

$ x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 > 0 $

Свернем по формуле квадрата суммы:

$ (x + \sqrt{2})^2 > 0 $

Это неравенство выполняется для всех $ x $, кроме $ x = -\sqrt{2} $.

Объединяя все условия ($ x > \sqrt{2} $, $ x \ne 1 $, $ x \ne -\sqrt{2} $), получаем итоговую ОДЗ:

$ x > \sqrt{2} $. (Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, это условие автоматически удовлетворяет условиям $ x > 0 $ и $ x \ne 1 $).

2. Упростим уравнение.

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу перехода к новому основанию $ \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} $:

$ \frac{\lg 27x^2}{\lg x^2} = \log_{x^2}(27x^2) $

Преобразуем второе слагаемое в левой части, используя свойство $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $:

$ \log_{x^2}(6 + x\sqrt{72} + 3x^2) = \frac{1}{2}\log_x(6 + x\sqrt{72} + 3x^2) $

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$ \log_x(3x - \sqrt{18}) + \frac{1}{2}\log_x(3x^2 + x\sqrt{72} + 6) = \log_{x^2}(27x^2) $

Теперь упростим выражения под знаками логарифмов, как мы делали в ОДЗ:

$ 3x - \sqrt{18} = 3x - 3\sqrt{2} = 3(x - \sqrt{2}) $

$ 3x^2 + x\sqrt{72} + 6 = 3x^2 + 6\sqrt{2}x + 6 = 3(x^2 + 2\sqrt{2}x + 2) = 3(x + \sqrt{2})^2 $

$ 27x^2 = 3^3 x^2 $

Подставим их в уравнение:

$ \log_x(3(x - \sqrt{2})) + \frac{1}{2}\log_x(3(x + \sqrt{2})^2) = \log_{x^2}(3^3 x^2) $

Раскроем логарифмы, используя свойства $ \log(ab) = \log a + \log b $ и $ \log a^k = k \log a $:

$ \log_x 3 + \log_x(x - \sqrt{2}) + \frac{1}{2}(\log_x 3 + \log_x((x + \sqrt{2})^2)) = \log_{x^2}(3^3) + \log_{x^2}(x^2) $

$ \log_x 3 + \log_x(x - \sqrt{2}) + \frac{1}{2}\log_x 3 + \frac{1}{2} \cdot 2\log_x(x + \sqrt{2}) = 3\log_{x^2} 3 + 1 $

Приведем подобные слагаемые в левой части и применим свойство $ \log a + \log b = \log(ab) $:

$ \frac{3}{2}\log_x 3 + \log_x((x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})) = 3 \cdot \frac{1}{2}\log_x 3 + 1 $

$ \frac{3}{2}\log_x 3 + \log_x(x^2 - 2) = \frac{3}{2}\log_x 3 + 1 $

3. Решим полученное уравнение.

Вычтем из обеих частей уравнения $ \frac{3}{2}\log_x 3 $:

$ \log_x(x^2 - 2) = 1 $

По определению логарифма:

$ x^1 = x^2 - 2 $

$ x^2 - x - 2 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$ x_1 + x_2 = 1 $

$ x_1 \cdot x_2 = -2 $

Корни уравнения: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -1 $.

4. Проверим корни на соответствие ОДЗ.

ОДЗ: $ x > \sqrt{2} $.

- Корень $ x_1 = 2 $. Так как $ 2 > \sqrt{2} $ (потому что $ 4 > 2 $), этот корень удовлетворяет ОДЗ.

- Корень $ x_2 = -1 $. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ, так как $ -1 < \sqrt{2} $.

Следовательно, у уравнения есть только один корень.

Ответ: 2.