Номер 17.36, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.36, страница 109.

17.36. a) $6^{\log_6^2 x} + x^{\log_6 x} = 12;$

б) $10^{\lg^2 x} + 9x^{\lg x} = 1000.$

a) $6^{\log_6^2 x} + x^{\log_6 x} = 12$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, следовательно, $x > 0$.

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством в виде $a = b^{\log_b a}$. Применим его к основанию $x$ во втором слагаемом, представив $x$ как $6^{\log_6 x}$.

Тогда второе слагаемое $x^{\log_6 x}$ можно преобразовать следующим образом:
$x^{\log_6 x} = (6^{\log_6 x})^{\log_6 x} = 6^{(\log_6 x) \cdot (\log_6 x)} = 6^{(\log_6 x)^2} = 6^{\log_6^2 x}$.

Как видим, оба слагаемых в левой части уравнения одинаковы. Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$6^{\log_6^2 x} + 6^{\log_6^2 x} = 12$
$2 \cdot 6^{\log_6^2 x} = 12$

Разделим обе части на 2:
$6^{\log_6^2 x} = 6$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$\log_6^2 x = 1$

Это уравнение распадается на два:
1) $\log_6 x = 1 \implies x_1 = 6^1 = 6$.
2) $\log_6 x = -1 \implies x_2 = 6^{-1} = \frac{1}{6}$.

Оба корня ($6$ и $\frac{1}{6}$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $6; \frac{1}{6}$.

б) $10^{\lg^2 x} + 9x^{\lg x} = 1000$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x > 0$, так как $x$ является аргументом десятичного логарифма ($\lg x = \log_{10} x$).

Используем свойство $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$. В нашем случае это можно записать как $x^{\lg x} = x^{\log_{10} x}$. Для преобразования этого выражения воспользуемся тождеством $x = 10^{\log_{10} x} = 10^{\lg x}$.

Тогда $x^{\lg x} = (10^{\lg x})^{\lg x} = 10^{(\lg x) \cdot (\lg x)} = 10^{(\lg x)^2} = 10^{\lg^2 x}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$10^{\lg^2 x} + 9 \cdot 10^{\lg^2 x} = 1000$

Сложим подобные слагаемые в левой части:
$10 \cdot 10^{\lg^2 x} = 1000$

Разделим обе части на 10:
$10^{\lg^2 x} = 100$

Представим 100 как степень 10:
$10^{\lg^2 x} = 10^2$

Приравняем показатели степеней:
$\lg^2 x = 2$

Отсюда получаем два возможных значения для $\lg x$:
1) $\lg x = \sqrt{2} \implies x_1 = 10^{\sqrt{2}}$.
2) $\lg x = -\sqrt{2} \implies x_2 = 10^{-\sqrt{2}}$.

Оба корня ($10^{\sqrt{2}}$ и $10^{-\sqrt{2}}$) являются положительными числами и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $10^{\sqrt{2}}; 10^{-\sqrt{2}}$.