Номер 17.32, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.32, страница 108.

17.32. a) $1 + \log_x \frac{4 - x}{10} = (\lg x^2 - 1) \log_x 10;$

б) $1 + 2 \log_x 2 \cdot \log_4 (10 - x) = \frac{2}{\log_4 x}.$

а) $1 + \log_{x} \frac{4 - x}{10} = (\lg x^2 - 1) \log_{x} 10$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
1. Основание логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.
2. Аргумент логарифма: $\frac{4 - x}{10} > 0 \Rightarrow 4 - x > 0 \Rightarrow x < 4$.
3. Аргумент десятичного логарифма: $x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; 4)$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов. Сначала используем свойство логарифма частного $ \log_a(\frac{b}{c}) = \log_a b - \log_a c $ и свойство логарифма степени $ \log_a(b^n) = n \log_a b $: $ 1 + \log_x(4 - x) - \log_x 10 = (2 \lg x - 1) \log_x 10 $

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $ \log_a b = \frac{1}{\log_b a} $, чтобы выразить $ \log_x 10 $ через десятичный логарифм $ \lg x $ (где $ \lg x = \log_{10} x $): $ \log_x 10 = \frac{1}{\log_{10} x} = \frac{1}{\lg x} $

Подставим это в уравнение: $ 1 + \log_x(4 - x) - \frac{1}{\lg x} = (2 \lg x - 1) \cdot \frac{1}{\lg x} $

Раскроем скобки в правой части: $ 1 + \log_x(4 - x) - \frac{1}{\lg x} = \frac{2 \lg x}{\lg x} - \frac{1}{\lg x} $ $ 1 + \log_x(4 - x) - \frac{1}{\lg x} = 2 - \frac{1}{\lg x} $

Сократим $ -\frac{1}{\lg x} $ в обеих частях уравнения: $ 1 + \log_x(4 - x) = 2 $ $ \log_x(4 - x) = 1 $

По определению логарифма: $ 4 - x = x^1 $ $ 4 - x = x $ $ 2x = 4 $ $ x = 2 $

Проверим, соответствует ли корень ОДЗ ($x \in (0; 1) \cup (1; 4)$). Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $2$.

б) $1 + 2 \log_{x} 2 \cdot \log_{4}(10 - x) = \frac{2}{\log_{4} x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
1. Основание логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.
2. Аргумент логарифма: $10 - x > 0 \Rightarrow x < 10$.
3. Знаменатель: $\log_4 x \neq 0 \Rightarrow x \neq 4^0 \Rightarrow x \neq 1$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; 10)$.

Приведем все логарифмы к одному основанию, например, к основанию 4. Используем формулу перехода к новому основанию $ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $: $ \log_x 2 = \frac{\log_4 2}{\log_4 x} $

Так как $ 4^{1/2} = 2 $, то $ \log_4 2 = \frac{1}{2} $. Следовательно, $ \log_x 2 = \frac{1/2}{\log_4 x} $.

Подставим это выражение в исходное уравнение: $ 1 + 2 \cdot \frac{1/2}{\log_4 x} \cdot \log_4(10 - x) = \frac{2}{\log_4 x} $ $ 1 + \frac{1}{\log_4 x} \cdot \log_4(10 - x) = \frac{2}{\log_4 x} $ $ 1 + \frac{\log_4(10 - x)}{\log_4 x} = \frac{2}{\log_4 x} $

Умножим обе части уравнения на $ \log_4 x $ (это допустимо, так как из ОДЗ $x \neq 1$, следовательно $ \log_4 x \neq 0 $): $ \log_4 x + \log_4(10 - x) = 2 $

Используем свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $: $ \log_4(x(10 - x)) = 2 $

По определению логарифма: $ x(10 - x) = 4^2 $ $ 10x - x^2 = 16 $ $ x^2 - 10x + 16 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: $ x_1 + x_2 = 10 $ $ x_1 \cdot x_2 = 16 $ Подбором находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 8$.

Проверим, соответствуют ли корни ОДЗ ($x \in (0; 1) \cup (1; 10)$). Оба корня, $x=2$ и $x=8$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2; 8$.