Номер 17.26, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.26, страница 108.

17.26. a) $\frac{\log_2 x + 5}{\log_2 x - 1} + 1 = 0;$

Б) $\frac{7 \log_3 x - 15}{5 \log_3 x + 3} + 1 = 0;$

В) $\frac{9 \log_{0.5} x + 14}{3 - 2 \log_{0.5} x} - 1 = 0;$

Г) $\frac{-19 \lg x + 20}{4 - 5 \lg x} - 4 = 0;$

а)

Исходное уравнение: $\frac{\log_2 x + 5}{\log_2 x - 1} + 1 = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $x > 0$ (аргумент логарифма должен быть положительным) и $\log_2 x - 1 \neq 0$ (знаменатель не должен быть равен нулю).
Из второго условия получаем $\log_2 x \neq 1$, что означает $x \neq 2^1 = 2$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 2) \cup (2, +\infty)$.
Введем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид:
$\frac{t + 5}{t - 1} + 1 = 0$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{t + 5 + (t - 1)}{t - 1} = 0$
$\frac{2t + 4}{t - 1} = 0$
Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
$2t + 4 = 0 \Rightarrow 2t = -4 \Rightarrow t = -2$.
Проверим знаменатель при $t = -2$: $t - 1 = -2 - 1 = -3 \neq 0$. Условие выполняется.
Выполним обратную замену:
$\log_2 x = -2$
$x = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.
Полученное значение $x = \frac{1}{4}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

б)

Исходное уравнение: $\frac{7 \log_3 x - 15}{5 \log_3 x + 3} + 1 = 0$.
ОДЗ: $x > 0$ и $5 \log_3 x + 3 \neq 0$.
Из второго условия: $5 \log_3 x \neq -3 \Rightarrow \log_3 x \neq -\frac{3}{5} \Rightarrow x \neq 3^{-3/5}$.
ОДЗ: $x \in (0, 3^{-3/5}) \cup (3^{-3/5}, +\infty)$.
Сделаем замену: пусть $t = \log_3 x$. Уравнение преобразуется к виду:
$\frac{7t - 15}{5t + 3} + 1 = 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{7t - 15 + (5t + 3)}{5t + 3} = 0$
$\frac{12t - 12}{5t + 3} = 0$
Числитель равен нулю: $12t - 12 = 0 \Rightarrow 12t = 12 \Rightarrow t = 1$.
Знаменатель при $t = 1$ не равен нулю: $5(1) + 3 = 8 \neq 0$.
Выполним обратную замену:
$\log_3 x = 1$
$x = 3^1 = 3$.
Значение $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = 3$.

в)

Исходное уравнение: $\frac{9 \log_{0,5} x + 14}{3 - 2 \log_{0,5} x} - 1 = 0$.
ОДЗ: $x > 0$ и $3 - 2 \log_{0,5} x \neq 0$.
Из второго условия: $2 \log_{0,5} x \neq 3 \Rightarrow \log_{0,5} x \neq \frac{3}{2} \Rightarrow x \neq (0,5)^{3/2} = (\frac{1}{2})^{3/2} = \frac{1}{\sqrt{2^3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
ОДЗ: $x \in (0, \frac{1}{2\sqrt{2}}) \cup (\frac{1}{2\sqrt{2}}, +\infty)$.
Сделаем замену: пусть $t = \log_{0,5} x$. Уравнение примет вид:
$\frac{9t + 14}{3 - 2t} - 1 = 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{9t + 14 - (3 - 2t)}{3 - 2t} = 0$
$\frac{9t + 14 - 3 + 2t}{3 - 2t} = 0$
$\frac{11t + 11}{3 - 2t} = 0$
Числитель равен нулю: $11t + 11 = 0 \Rightarrow 11t = -11 \Rightarrow t = -1$.
Знаменатель при $t = -1$ не равен нулю: $3 - 2(-1) = 3 + 2 = 5 \neq 0$.
Выполним обратную замену:
$\log_{0,5} x = -1$
$x = (0,5)^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$.
Значение $x = 2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = 2$.

г)

Исходное уравнение: $\frac{-19 \lg x + 20}{4 - 5 \lg x} - 4 = 0$. Напомним, что $\lg x = \log_{10} x$.
ОДЗ: $x > 0$ и $4 - 5 \lg x \neq 0$.
Из второго условия: $5 \lg x \neq 4 \Rightarrow \lg x \neq \frac{4}{5} \Rightarrow x \neq 10^{4/5}$.
ОДЗ: $x \in (0, 10^{4/5}) \cup (10^{4/5}, +\infty)$.
Сделаем замену: пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид:
$\frac{-19t + 20}{4 - 5t} - 4 = 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{-19t + 20 - 4(4 - 5t)}{4 - 5t} = 0$
$\frac{-19t + 20 - 16 + 20t}{4 - 5t} = 0$
$\frac{t + 4}{4 - 5t} = 0$
Числитель равен нулю: $t + 4 = 0 \Rightarrow t = -4$.
Знаменатель при $t = -4$ не равен нулю: $4 - 5(-4) = 4 + 20 = 24 \neq 0$.
Выполним обратную замену:
$\lg x = -4$
$x = 10^{-4} = 0,0001$.
Значение $x = 0,0001$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = 0,0001$.