Номер 17.20, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.20, страница 107.

17.20. a) $\lg(x - 1)^3 - 3 \lg(x - 3) = \lg 8;$

б) $\lg(x + 1)^5 - 5 \lg(x - 1) = \lg 32.$

а) $lg(x - 1)^3 - 3 lg(x - 3) = lg 8$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > 3 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $x > 3$.

Теперь преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов. Воспользуемся свойством $n \cdot \lg a = \lg a^n$:

$lg(x - 1)^3 - lg(x - 3)^3 = lg 8$

Применим свойство разности логарифмов $\lg a - \lg b = \lg(a/b)$:

$lg \frac{(x - 1)^3}{(x - 3)^3} = lg 8$

$lg \left(\frac{x - 1}{x - 3}\right)^3 = lg 8$

Поскольку основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$\left(\frac{x - 1}{x - 3}\right)^3 = 8$

Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$\frac{x - 1}{x - 3} = \sqrt[3]{8}$

$\frac{x - 1}{x - 3} = 2$

Теперь решим полученное рациональное уравнение (учитывая, что $x \ne 3$ согласно ОДЗ):

$x - 1 = 2(x - 3)$

$x - 1 = 2x - 6$

$2x - x = 6 - 1$

$x = 5$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x > 3$). Корень $x=5$ удовлетворяет этому условию ($5 > 3$), следовательно, он является решением уравнения.

Ответ: $5$

б) $lg(x + 1)^5 - 5 lg(x - 1) = lg 32$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > 1 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $x > 1$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов $n \cdot \lg a = \lg a^n$ и $\lg a - \lg b = \lg(a/b)$:

$lg(x + 1)^5 - lg(x - 1)^5 = lg 32$

$lg \frac{(x + 1)^5}{(x - 1)^5} = lg 32$

$lg \left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)^5 = lg 32$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)^5 = 32$

Извлечем корень пятой степени из обеих частей уравнения, зная, что $32 = 2^5$:

$\frac{x + 1}{x - 1} = \sqrt[5]{32}$

$\frac{x + 1}{x - 1} = 2$

Решим полученное уравнение (учитывая, что $x \ne 1$ согласно ОДЗ):

$x + 1 = 2(x - 1)$

$x + 1 = 2x - 2$

$2x - x = 1 + 2$

$x = 3$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=3$ ОДЗ ($x > 1$). Условие $3 > 1$ выполняется, значит, корень является решением.

Ответ: $3$