Номер 17.15, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.15, страница 106.

17.15. a) $ \log_2 x = \log_2 3 + \log_2 5; $

В) $ \log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} 18; $

б) $ \log_7 4 = \log_7 x - \log_7 9; $

г) $ \log_{0,4} 9 - \log_{0,4} x = \log_{0,4} 3. $

а) Исходное уравнение: $log_2 x = log_2 3 + log_2 5$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма определяется условием, что его аргумент должен быть строго больше нуля, следовательно, $x > 0$.
Воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $log_a b + log_a c = log_a(b \cdot c)$.
Применим это свойство к правой части уравнения:
$log_2 3 + log_2 5 = log_2(3 \cdot 5) = log_2 15$.
Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:
$log_2 x = log_2 15$.
Поскольку основания логарифмов в левой и правой частях уравнения равны, мы можем приравнять их аргументы:
$x = 15$.
Найденное значение $x=15$ удовлетворяет ОДЗ ($15 > 0$), значит, это и есть корень уравнения.
Ответ: $15$.

б) Исходное уравнение: $log_7 4 = log_7 x - log_7 9$.
ОДЗ: $x > 0$.
Для решения уравнения перенесем член $log_7 9$ из правой части в левую с противоположным знаком:
$log_7 4 + log_7 9 = log_7 x$.
Используем свойство суммы логарифмов $log_a b + log_a c = log_a(b \cdot c)$ для левой части:
$log_7(4 \cdot 9) = log_7 x$.
$log_7 36 = log_7 x$.
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$x = 36$.
Полученное значение $x=36$ удовлетворяет ОДЗ ($36 > 0$).
Ответ: $36$.

в) Исходное уравнение: $log_{\frac{1}{3}} 4 + log_{\frac{1}{3}} x = log_{\frac{1}{3}} 18$.
ОДЗ: $x > 0$.
Применим свойство суммы логарифмов $log_a b + log_a c = log_a(b \cdot c)$ к левой части уравнения:
$log_{\frac{1}{3}}(4 \cdot x) = log_{\frac{1}{3}} 18$.
$log_{\frac{1}{3}}(4x) = log_{\frac{1}{3}} 18$.
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$4x = 18$.
Находим $x$:
$x = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4,5$.
Значение $x=4,5$ удовлетворяет ОДЗ ($4,5 > 0$).
Ответ: $4,5$.

г) Исходное уравнение: $log_{0,4} 9 - log_{0,4} x = log_{0,4} 3$.
ОДЗ: $x > 0$.
Перегруппируем уравнение, чтобы выразить $log_{0,4} x$:
$log_{0,4} 9 - log_{0,4} 3 = log_{0,4} x$.
Воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $log_a b - log_a c = log_a(\frac{b}{c})$.
Применим это свойство к левой части:
$log_{0,4}(\frac{9}{3}) = log_{0,4} x$.
$log_{0,4} 3 = log_{0,4} x$.
Поскольку основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$x = 3$.
Найденное значение $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 > 0$).
Ответ: $3$.