Номер 17.13, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.13, страница 106.

17.13. a) $\log_x (x + 3) = \log_x (2x + 9);$

б) $\log_x (x^2 - 2x) = \log_x (3x - 4);$

в) $\log_x (x - 1) = \log_x (2x - 8);$

г) $\log_x (x^2 - 6) = \log_x (-x).$

а) Решим уравнение $\log_x (x + 3) = \log_x (2x + 9)$.
Данное уравнение равносильно системе, состоящей из уравнения и неравенств, определяющих область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} x + 3 = 2x + 9 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \\ x + 3 > 0 \\ 2x + 9 > 0 \end{cases}$
Сначала найдем ОДЗ, решив систему неравенств:
$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x > -3 \\ x > -4.5 \end{cases}$
Пересечением этих условий является интервал $(0; 1) \cup (1; +\infty)$.
Теперь решим уравнение:
$x + 3 = 2x + 9$
$2x - x = 3 - 9$
$x = -6$
Проверим, принадлежит ли найденный корень $x = -6$ области допустимых значений.
Условие $x > 0$ не выполняется, так как $-6 < 0$.
Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

б) Решим уравнение $\log_x (x^2 - 2x) = \log_x (3x - 4)$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется системой неравенств:
$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x^2 - 2x > 0 \\ 3x - 4 > 0 \end{cases}$
Решим каждое неравенство:
1. $x^2 - 2x > 0 \implies x(x - 2) > 0 \implies x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.
2. $3x - 4 > 0 \implies 3x > 4 \implies x > \frac{4}{3}$.
Найдем пересечение всех условий: $x > 0$, $x \neq 1$, $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$ и $x > \frac{4}{3}$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (2; +\infty)$.
Теперь решим уравнение, приравняв выражения под логарифмами:
$x^2 - 2x = 3x - 4$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($x > 2$):
- $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x > 2$, поэтому это посторонний корень.
- $x_2 = 4$ удовлетворяет условию $x > 2$.
Таким образом, уравнение имеет один корень.
Ответ: 4.

в) Решим уравнение $\log_x (x - 1) = \log_x (2x - 8)$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется системой неравенств:
$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x - 1 > 0 \\ 2x - 8 > 0 \end{cases}$
Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x > 1 \\ x > 4 \end{cases}$
Пересечением этих условий является интервал $(4; +\infty)$.
Решим уравнение:
$x - 1 = 2x - 8$
$2x - x = -1 + 8$
$x = 7$
Проверим, принадлежит ли корень $x = 7$ ОДЗ ($x > 4$).
$7 > 4$, условие выполняется.
Следовательно, $x = 7$ является решением уравнения.
Ответ: 7.

г) Решим уравнение $\log_x (x^2 - 6) = \log_x (-x)$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ), которая определяется системой неравенств:
$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x^2 - 6 > 0 \\ -x > 0 \end{cases}$
Рассмотрим два неравенства из этой системы:
1. $x > 0$
2. $-x > 0 \implies x < 0$
Эти два условия противоречат друг другу: не существует такого значения $x$, которое было бы одновременно больше нуля и меньше нуля.
Следовательно, область допустимых значений является пустым множеством.
Так как не существует значений $x$, при которых уравнение имело бы смысл, оно не имеет решений.
Ответ: корней нет.