Номер 17.17, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.17, страница 106.

17.17. а) $\log_3(x - 2) + \log_3(x + 2) = \log_3(2x - 1)$;

б) $\log_{11}(x + 4) + \log_{11}(x - 7) = \log_{11}(7 - x)$;

в) $\log_{0.6}(x + 3) + \log_{0.6}(x - 3) = \log_{0.6}(2x - 1)$;

г) $\log_{0.4}(x + 2) + \log_{0.4}(x + 3) = \log_{0.4}(-2x)$;

а) $\log_3 (x - 2) + \log_3 (x + 2) = \log_3 (2x - 1)$
Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго больше нуля:
$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ 2x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > -2 \\ x > 0.5 \end{cases}$
Общим решением системы неравенств является $x > 2$.
Используем свойство логарифма: сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов.
$\log_3 ((x - 2)(x + 2)) = \log_3 (2x - 1)$
Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:
$(x - 2)(x + 2) = 2x - 1$
$x^2 - 4 = 2x - 1$
Переносим все члены в левую часть и приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Либо через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$
$x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$
$x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$
Проверяем найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 2$):
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 > 2$.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1$ не больше $2$. Это посторонний корень.
Таким образом, единственным решением является $x=3$.
Ответ: 3

б) $\log_{11} (x + 4) + \log_{11} (x - 7) = \log_{11} (7 - x)$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x + 4 > 0 \\ x - 7 > 0 \\ 7 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -4 \\ x > 7 \\ x < 7 \end{cases}$
Система неравенств $x > 7$ и $x < 7$ не имеет решений. Следовательно, область допустимых значений пуста, и уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет

в) $\log_{0,6} (x + 3) + \log_{0,6} (x - 3) = \log_{0,6} (2x - 1)$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x + 3 > 0 \\ x - 3 > 0 \\ 2x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x > 3 \\ x > 0.5 \end{cases}$
Общим решением системы является $x > 3$.
Применим свойство суммы логарифмов:
$\log_{0,6} ((x + 3)(x - 3)) = \log_{0,6} (2x - 1)$
Приравниваем аргументы:
$(x + 3)(x - 3) = 2x - 1$
$x^2 - 9 = 2x - 1$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна 2, произведение равно -8. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
Либо через дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$
$x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4$
$x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2$
Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$):
Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 > 3$.
Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2$ не больше $3$. Это посторонний корень.
Единственное решение — $x=4$.
Ответ: 4

г) $\log_{0,4} (x + 2) + \log_{0,4} (x + 3) = \log_{0,4} (-2x)$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x + 2 > 0 \\ x + 3 > 0 \\ -2x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ x > -3 \\ x < 0 \end{cases}$
Общим решением системы является интервал $-2 < x < 0$.
Применим свойство суммы логарифмов:
$\log_{0,4} ((x + 2)(x + 3)) = \log_{0,4} (-2x)$
Приравниваем аргументы:
$(x + 2)(x + 3) = -2x$
$x^2 + 3x + 2x + 6 = -2x$
$x^2 + 5x + 6 = -2x$
$x^2 + 7x + 6 = 0$
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна -7, произведение равно 6. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -6$.
Либо через дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$.
$x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-7 \pm 5}{2}$
$x_1 = \frac{-7 + 5}{2} = -1$
$x_2 = \frac{-7 - 5}{2} = -6$
Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($-2 < x < 0$):
Корень $x_1 = -1$ удовлетворяет условию $-2 < -1 < 0$.
Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет условию, так как $-6$ не принадлежит интервалу $(-2; 0)$. Это посторонний корень.
Единственное решение — $x=-1$.
Ответ: -1