Номер 17.14, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.14, страница 106.

17.14. a) $\log_x(2x^2 + x - 2) = 3;$

б) $\log_{x-1}(12x - x^2 - 19) = 3.$

а) $\log_x(2x^2 + x - 2) = 3$

По определению логарифма, данное уравнение равносильно системе, которая также включает область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} 2x^2 + x - 2 = x^3 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $

Сначала решим уравнение $2x^2 + x - 2 = x^3$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить кубическое уравнение:

$x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$

Для решения сгруппируем слагаемые:

$(x^3 - 2x^2) - (x - 2) = 0$

Вынесем общие множители за скобки:

$x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0$

$(x^2 - 1)(x - 2) = 0$

Разложим $(x^2 - 1)$ на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 1)(x + 1)(x - 2) = 0$

Получаем три возможных корня: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = 2$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условиям ОДЗ ($x > 0$ и $x \neq 1$).

• Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x \neq 1$, поэтому он не является решением.
• Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому он не является решением.
• Корень $x_3 = 2$ удовлетворяет обоим условиям: $2 > 0$ и $2 \neq 1$. Также необходимо проверить, что при $x=2$ выражение под логарифмом положительно: $2(2^2) + 2 - 2 = 8 > 0$. Это условие выполняется.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 2

б) $\log_{x-1}(12x - x^2 - 19) = 3$

Данное уравнение равносильно системе, включающей ОДЗ:

$ \begin{cases} 12x - x^2 - 19 = (x-1)^3 \\ x - 1 > 0 \\ x - 1 \neq 1 \\ 12x - x^2 - 19 > 0 \end{cases} $

Рассмотрим условия ОДЗ:

1. $x - 1 > 0 \implies x > 1$

2. $x - 1 \neq 1 \implies x \neq 2$

3. $12x - x^2 - 19 > 0 \implies x^2 - 12x + 19 < 0$. Для решения этого неравенства найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 12x + 19 = 0$.
Дискриминант $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19 = 144 - 76 = 68$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{17}}{2} = 6 \pm \sqrt{17}$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 12x + 19$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in (6 - \sqrt{17}, 6 + \sqrt{17})$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (6 - \sqrt{17}, 2) \cup (2, 6 + \sqrt{17})$.

Теперь решим основное уравнение:

$12x - x^2 - 19 = (x-1)^3$

Раскроем куб разности в правой части:

$12x - x^2 - 19 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^3 - 3x^2 + x^2 + 3x - 12x - 1 + 19 = 0$

$x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 - 2x^2) - (9x - 18) = 0$

$x^2(x - 2) - 9(x - 2) = 0$

$(x^2 - 9)(x - 2) = 0$

$(x - 3)(x + 3)(x - 2) = 0$

Возможные корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$, $x_3 = 2$.

Проверим соответствие корней найденной ОДЗ: $x \in (6 - \sqrt{17}, 2) \cup (2, 6 + \sqrt{17})$.

• Корень $x_1 = 3$. Оценим границы интервала: $4 < \sqrt{17} < 5$, значит $1 < 6-\sqrt{17} < 2$. Корень $3$ находится в интервале $(2, 6+\sqrt{17})$. Таким образом, $x=3$ является решением.
• Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-3 < 1$.
• Корень $x_3 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $x \neq 2$.

Единственным решением уравнения является $x=3$.

Ответ: 3